Hadamard-Cartanin lause

Hadamard-Cartan-lause  on väite, jonka mukaan Riemannin moniston universaali päällyste , jolla on ei-positiivinen kaarevuus, on erilainen kuin euklidinen avaruus .

Historia

Euklidisen avaruuden pintojen osalta lauseen todisti von Mangoldt vuonna 1881 [1] ja itsenäisesti Hadamard vuonna 1898 [2] . Cartan todisti yleisen tapauksen vuonna 1928 [3] .

Busemann [4] [5] ja Rinov [6] , Gromov [7] sekä Aleksanteri ja piispa [8] saivat yleistykset metrisiin avaruuteen useissa yleisissä piireissä .

Sanamuoto

Cartan-Hadamardin lauseessa sanotaan, että ei-positiivisen poikkileikkauksellisen kaarevuuden omaavan yhdistetyn täydellisen Riemannin moniston universaali peittoavaruus on diffeomorfinen euklidisen avaruuden kanssa. Lisäksi eksponentiaalinen kartta missä tahansa kohdassa on diffeomorfismi.

Muunnelmia ja yleistyksiä

• Lause yleistyy Hilbertin monille siinä mielessä, että eksponentiaalinen kartoitus on universaali peitto. Tässä tapauksessa täydellisyys ymmärretään siinä mielessä, että eksponentiaalinen kuvaus määritellään koko pisteen tangenttiavaruudessa .

• Cartan-Hadamardin lause metriavaruuksille: metrinen avaruus X , jolla on ei-positiivinen kaarevuus Aleksandrovin merkityksessä, on CAT(0) -avaruus.
  • Erityisesti, jos X on yksinkertaisesti yhdistetty , niin mitkä tahansa kaksi pistettä siinä on yhdistetty yhdellä geodeettisella pisteellä, mikä tarkoittaa, että X on supistettava .

Ei-positiivisen kaarevuuden oletusta voidaan lieventää [8] . Kutsumme metriavaruutta X konveksiksi, jos kahdelle geodeettiselle funktiolle a ( t ) ja b ( t ) funktio

on t : n kupera funktio . Metrinen avaruuden sanotaan olevan paikallisesti kupera , jos jokaisella sen pisteellä on naapuri, joka on tässä mielessä kupera. Cartan-Hadamardin lause paikallisesti kuperaavaruutta varten on muotoiltu seuraavasti:

• Jos X on paikallisesti konveksi täydellinen yhdistetty metriavaruus, niin X :n universaali peitto on konveksi geodeettinen avaruus suhteessa indusoituun sisäiseen metriikkaan .
  • Erityisesti tällaisen tilan yleispäällys on kutistuva.

Muistiinpanot

1. ↑ Hans von Mangoldt. Ueber diejenigen Punkte auf positiv gekrümmten Flächen, welche die Eigenschaft haben, dass die von ihnen ausgehenden geodätischen Linien nie aufhören, kürzeste Linien zu sein. (saksa)  // J. Reine Angew. Matematiikka.. - 1881. - Bd. 91 . - S. 23-53 .
2. ↑ Hadamard, J. Sur la forme des lignes géodésiques à l'infini et sur les géodésiques des surfaces réglées du second ordre  (ranska)  // Bulletin de la Société Mathématique de France. - 1898. - Voi. 26 . - s. 195-216 . Arkistoitu alkuperäisestä 3. kesäkuuta 2018.
3. ↑ Cartan, Elie. Lecons sur la geometrie des espaces de Riemann  (ranska) . - Paris: Gauthier-Villars, 1928. - vi + 273 s.
4. ↑ Busemann, H. Tilat, joissa on ei-positiivinen kaarevuus. Acta Mathematica 80 (1948), 259-310.
5. ↑ Buseman G. Geodeesian geometria. – 1962.
6. ↑ Rinow, W. Die innere Geometrie der metrischen Raume. Springer, Berliini, Geidelberg, New York, 1961.
7. ↑ Gromov, M. Hyperboliset ryhmät. Ryhmäteorian esseitä. (englanniksi)  // Math. sci. Res. Inst. Publ.. - New York: Springer, 1987. - Voi. 8 . — s. 75–263 .
8. ↑ 1 2 S. B. Alexander, R. L. Piispa. Hadamard-Cartan-lause lokaalikonvekseissa metriavaroissa // Enseign. Matematiikka. (2). - 1990. - T. 36 , no. 3-4 . - S. 309-320 .