Reynoldsin analogia

Reynoldsin analogia on analogia lämmönsiirron ja kitkan välillä.

Matemaattinen kuvaus

Tarkastellaan liikkeen ja lämmönsiirron yhtälöitä (edellyttäen, että käytämme rajakerroksen approksimaatiota eikä painegradienttia ole):

\rho \left(u{\frac {\partial u}{\partial x))+v{\frac {\partial u}{\partial y))\right)=\mu {\frac {\ osittainen ^{2}u}{\osittais y^{2}}},

\rho C_{p}\left(u{\frac {\partial T}{\partial x))+v{\frac {\partial T}{\partial y))\right)=k{\ frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}.

Mitoitetaan ne tekijöillä ja , missä l on ongelman ominaiskoko: ${\displaystyle 1/{\rho _{\infty }U_{\infty }l))$ ${\displaystyle 1/{\rho _{\infty }C_{p}U_{\infty }l))$

u{\frac {\partial u}{\partial x))+v{\frac {\partial u}{\partial y))={\frac {1}{\mathrm {Re} }}{ \frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}},

u{\frac {\partial T}{\partial x))+v{\frac {\partial T}{\partial y))={\frac {1}{\mathrm {Re} \mathrm { Pr} }}{\frac {\partial ^{2}T}{\partial y^{2}}}.

Kun nämä yhtälöt on ratkaistu, saamme lausekkeet dynaamisten ja termisten rajakerrosten kasvulle :

{\frac {\delta }{l))\sim {\frac {1}{\sqrt {\mathrm {Re} }}},

{\frac {\delta _{T}}{l}}\sim {\frac {1}({\sqrt {\mathrm {Re} }}{\sqrt[{3}]{\mathrm { Pr} }}}}.

Tästä seuraa siis

{\frac {\delta _{T}}{\delta }}={\frac {1}{\sqrt[{3}]{\mathrm {Pr} }}}.

Kaasuihin sovellettaessa tämä suhde osoittaa, että lämpö- ja dynaamisten rajakerrosten paksuuden välillä ei ole suurta eroa. Tuloksena olevia suhteita kutsutaan joskus myös Reynoldsin analogiaksi, mutta niitä kannattaa harkita tarkemmin. Kirjoitamme dimensiottoman kitkakertoimen seuraavassa muodossa:

C_{f}={\frac {\tau _{w}}({\frac {1}{2}}\rho U_{\infty }^{2}}}\sim {\frac {1 }{\sqrt {\mathrm {Re} }}},

missä on seinän paikallinen leikkausjännitys . Vertaamalla tätä relaatiota Nusselt-luvun suhteisiin saadaan $\tau _{w}=\mu \left({\frac {\partial u}{\partial y))\right)$

\mathrm {Nu} ={\frac {1}{2}}C_{f}\mathrm {Re} \cdot f({\mathrm {Pr} }).

Tämä ilmaus on Reynoldsin analogian ydin.

Insinöörikäytännössä Nusselt-luvun sijasta käytetään usein Stanton- lukua , jonka arvo on myös verrannollinen lämmönsiirtokertoimeen. Käyttämällä samoja suhteita voidaan saada se

\mathrm {St} ={\frac {C_{f}}{2}}f(\mathrm {Pr} ).

Siten voimme päätellä, että ilman kitkaa ei ole lämmönsiirtoa. Levylle lämpövirta voidaan ilmaista seuraavalla kaavalla:

q={\frac {C_{f}}{2}}C_{p}\rho U_{\infty }\Delta T.

Johtopäätökset

Massavirran kasvaessa lämpövirran suuruus kasvaa suhteessa, mutta kitkavastus kasvaa suhteessa nopeuden neliöön, eli tällaisella lämmönsiirron tehostumisella sen hyötysuhde hydraulihäviöihin nähden laskee .

Lämpövuon suuruus kasvaa tiheyden ja lämpökapasiteetin kasvaessa. Tämän vaikutuksen toteuttamiseksi on mahdollista käyttää korkean tuotearvon omaavia aineita (vesi, nestemäiset metallit) sekä nostaa kaasumaisen väliaineen painetta. ${\displaystyle \rho C_{p))$

Yleisin tapa tehostaa lämmönsiirtoa on nostaa lämmönvaihtolaitteen kitkakerrointa tai kokonaishydraulista vastusta. Tätä varten pinnalle, jolla lämmönvaihto tapahtuu, tehdään epäsäännöllisyyksiä ja ulkonemia.

Kirjallisuus

Krasheninnikov S. Yu. Johdatus lämmönsiirron teoriaan ilmasuihkumoottoreissa. - M .: CIAM, 2009. - S. 158.