Asymptoottisen normaali arvio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 19. kesäkuuta 2018 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 4 muokkausta .

Asymptoottisesti normaaliestimaatti on matemaattisessa tilastossa estimaatti, jonka jakauma pyrkii normaalijakaumaan otoksen koon kasvaessa.

Määritelmä

Olkoon näyte jakaumasta parametrista riippuen . _ $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots$ $\mathbb {P} _{\theta }$ $\theta \in \Theta$

Pisteestimaatin sanotaan olevan asymptoottisesti normaali varianssilla if ${\hattu {\theta ))$ $\sigma \ ^{2}(\theta )$

{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)\to Z

jakelulla osoitteessa ,

n\to\infty

missä on normaali satunnaismuuttuja . $Z\sim \mathrm {N} \left(0,\sigma ^{2}(\theta )\right)$

Huomautus

Vastaavasti arvio on asymptoottisesti normaali, jos ${\hattu {\theta ))$

{\frac {{\sqrt {n}}\left({\hat {\theta }}-\theta \right)}{\sigma (\theta )))\to {\tilde {Z}}

jakelulla osoitteessa ,

n\to\infty

missä . ${\tilde {Z}}\sim \mathrm {N} (0,1)$

Ominaisuudet

Asymptoottisesti normaali arvio on johdonmukainen . ${\hattu {\theta ))$
Kun riittävän yleiset vaatimukset täyttyvät, momenttien menetelmän arvio on asymptoottisesti normaali.

Esimerkkejä

Antaa olla näyte jatkuvasta tasajakaumasta , jossa . Päästää $X_{1},\ldots ,X_{n},\ldots \sim \mathrm {U} [0,\theta ]$ $\theta >0$

{\hat {\theta }}_{1}=2{\bar {X}}

missä on näytteen keskiarvo , ja ${\bar {X}}$

{\displaystyle {\hat {\theta }}_{2}=X_{(n)))

missä . Tällöin estimaattori on asymptoottisesti normaali varianssilla , mutta estimaattori ei ole asymptoottisesti normaali. $X_{(n)}=\max(X_{1},\ldots ,X_{n})$ ${\hat {\theta }}_{1}$ $\sigma ^{2}(\theta )=\theta ^{2}/3$ ${\hat {\theta }}_{2}$