Atom Crandall

Crandall-atomi [1] on kahden elektronin ongelma, joka sallii tarkan ratkaisun. Edustaa elektroneja, jotka liikkuvat ytimen harmonisessa potentiaalissa, ja niiden välillä on Coulombin hylkiminen. Tarkastellaan [2] .

Määritelmä

Käyttämällä atomiyksiköitä , Planckin vakio , massa , Hamiltonin määrittelevä Crandallin atomi voidaan kirjoittaa muodossa [2] $\hbar=1$ $m = 1$

{\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}(\nabla _{1}^{2}+\nabla _{2}^{2})+{\frac { \omega ^{2}}{2}}({\textbf {r}}_{1}^{2}+{\textbf {r}}_{2}^{2})+{\frac {\ lambda }{({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})^{2}}}

missä r 1 , r 2 ovat koordinaatit hiukkasille, joiden indeksit ovat 1 ja 2, ω on oskillaattorin puhtaus, λ>0 on elektroni-elektroni vuorovaikutuskerroin. Kaksi ensimmäistä termiä ovat kineettisen ja potentiaalisen energian operaattorit jokaiselle elektronille indekseillä 1 ja 2, ja kolmas termi on elektroni-elektronipotentiaali, jolla on partikkelien välisen etäisyyden käänteiskuutio.

Ratkaisu

Tilaenergia on [2]

E_{n,l,m}^{n',l',m'}={\frac {\omega }{2))\left(5+4n+4n'+2l'+{\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)}}\oikea),

ja aaltofunktiot

\psi _{n,l,m}^{n',l',m'}(u,v)=e^{-{\frac {1}{2))\omega ({\textbf {u}}^{2}+{\textbf {v}}^{2})}u^{'l}v^{a}L_{n'}^{l'+1/2}(\omega u^{2})L_{n}^{a+1/2}(\omega v^{2})Y_{l',m'}(\theta _{u},\phi _{u}) Y_{l,m}(\theta _{v},\phi _{v}),

missä , L ovat Laguerren polynomeja , Y ovat pallomaisia harmonisia ja uusia koordinaatteja $a={\frac {1}{2}}({\sqrt {1+4\lambda +4l(l+1)))-1),$ ${\textbf {u}}=({\textbf {r}}_{1}+{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}),$ ${\textbf {v}}=({\textbf {r}}_{1}-{\textbf {r}}_{2})/{\sqrt {2}}.$

Muistiinpanot

↑ C. A. Downing. Kahden elektronin atomi suojatulla vuorovaikutuksella // Phys . Rev. A. - 2017. - Vol. 95, . — P. 022105 . - doi : 10.1103/PhysRevA.95.022105 .
↑ 1 2 3 R. Crandall, R. Whitnell ja R. Bettega. Täsmälleen liukoinen kahden elektronin atomimalli (englanniksi) // Am. J. Phys. - 1984. - Voi. 52 . - s. 438-442 . - doi : 10.1119/1.13650 .