Atomi (mittateoria)

Mittateoriassa atomi on mitattavissa oleva positiivisen suuren joukko , joka ei sisällä pienemmän positiivisen suuren osajoukkoa. Mitta, jossa ei ole atomeja, kutsutaan atomittomaksi .

Määritelmä

Jos tässä avaruudessa on mitattavissa oleva avaruus ja mitta , niin joukkoa kutsutaan atomiksi , jos ${\näyttötyyli (X,\Sigma )}$ $\mu$ $A$ $\Sigma$

\mu (A)>0

ja mille tahansa joukon mitattavissa olevalle osajoukolle alkaen $B$ $A$

\mu (A)>\mu (B)

seuraa sitä

\mu (B)=0.

Esimerkkejä

Tarkastellaan joukkoa X = {1, 2, ..., 9, 10} ja olkoon sigma -algebra X :n kaikkien osajoukkojen joukko . Määritellään joukon mitta sen kardinaliteettiksi eli siinä olevien alkioiden lukumääräksi. Tällöin jokainen yhden pisteen osajoukko { i } arvolle i = 1, 2, ..., 9, 10 on atomi. $\Sigma$ $\mu$
Lebesguen mitta todellisella viivalla on atomiton.

Atomless toimenpiteet

Mitta, joka ei sisällä atomeja, kutsutaan atomittomaksi . Toisin sanoen mitta on atomiton, jos mille tahansa mitattavissa olevalle joukolle c on olemassa joukon A mitattavissa oleva osajoukko B siten, että $A$ $\mu (A)>0$

\mu (A)>\mu (B)>0.

Aatomittomalla suurella, jolla on vähintään yksi positiivinen arvo, on ääretön määrä erilaisia arvoja, koska alkaen joukosta A mittalla , voidaan rakentaa loputon mitattavien joukkojen sarja $\mu (A)>0$

A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots

sellasta

\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.

Tämä ei ehkä pidä paikkaansa atomimittauksissa (katso esimerkki yllä).

Itse asiassa käy ilmi, että ei-atomisilla mitoilla on arvojen jatkumo . Voidaan todistaa, että jos μ on atomiton mitta ja A on mitattavissa oleva joukko, niin mille tahansa reaaliluvulle b , joka täyttää ehdon $\mu (A)>0,$

\mu (A)\geq b\geq 0

joukossa A on mitattavissa oleva osajoukko B siten , että

\mu (B)=b.

Tämän lauseen todisti Vaclav Sierpinski . [1] [2] Se muistuttaa jatkuvien funktioiden väliarvolausetta .

Luonnos Sierpinskin lauseen todistuksesta ei-atomimittauksille. Käytetään vähän vahvempaa väitettä: jos on atomiton mitattavissa oleva avaruus ja , niin on olemassa funktio , joka määrittelee mitattavien joukkojen S(t) yhden parametrin perheen siten, että kaikille $(X,\Sigma ,\mu )$ $\mu (X)=c$ $S:[0,c]\to \Sigma$ $0\leq t\leq t'\leq c$

S(t)\subset S(t'),

\mu \left(S(t)\right)=t.

Todistus seuraa helposti sarjaan sovelletusta Zornin lemmasta

\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\alajoukko [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\ ;(\mu \left(S(t)\right)=t)\},

järjestetään kaavioiden mukaan. Edelleen on esitetty tavanomaisella tavalla, että millä tahansa ketjulla on maksimielementti ja millä tahansa maksimielementillä on määritelmäalue , mikä todistaa väitteen. $\Gamma$ $\Gamma$ ${\näyttötyyli [0,c]}$

Katso myös

Dirac delta -toiminto
Alkeistapahtumat , tunnetaan myös atomitapahtumina

Linkit

↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et jatkuu Arkistoitu 15. toukokuuta 2011 Wayback Machinessa . Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
↑ Fryszkowski, Andrzej. Kiinteän pisteen teoria hajotettaville joukoille (topologinen kiinteän pisteen teoria ja sen sovellukset ) . - Springer. - s. 39. - ISBN 1-4020-2498-3 .

Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Todellinen analyysi . - Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall , 1997. - S. 108. - ISBN 0-13-458886-X .

Butnariu, Dan; Klement, EP Kolmikulmaiset normipohjaiset toimenpiteet ja pelit sumeiden koalitioiden kanssa . - Dordrecht: Kluwer Academic , 1993. - s . 87 . - ISBN 0-7923-2369-6 .