Maxwell-Boltzmannin tilastot

Maxwell-Boltzmann- tilasto on tilastollinen menetelmä kuvaamaan fyysisiä järjestelmiä, jotka sisältävät suuren määrän ei-vuorovaikutteisia hiukkasia, jotka liikkuvat klassisen mekaniikan lakien mukaisesti (eli klassinen ideaalikaasu ); ehdotti vuonna 1871 itävaltalainen fyysikko L. Boltzmann .

Jakelutulos

Maxwell-Boltzmann-jakauma voidaan johtaa yleisestä Gibbsin jakaumasta . Tarkastellaan hiukkasten järjestelmää yhtenäisessä kentässä. Tällaisessa kentässä jokaisella ihanteellisen kaasun molekyylillä on kokonaisenergia

\varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z),

missä on sen translaatioliikkeen kineettinen energia ja on potentiaalienergia ulkoisessa kentässä, joka riippuu sen sijainnista. $\varepsilon _{kin}$ $u$

Korvaamalla tämä energialauseke Gibbsin jakaumaan ihanteellisen kaasumolekyylin saamiseksi

{\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\ cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3))))

(missä on todennäköisyys, että hiukkanen on tilassa, jossa on koordinaattiarvot ja momenttiarvot , välissä ), meillä on: $\mathrm {d} w$ $q$ $s$ $\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V$

\mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT)) \right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V,

jossa tilojen integraali on:

z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT))\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x }\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}.

Integrointi suoritetaan kaikkien mahdollisten muuttujien arvojen yli. Planckin vakio on Boltzmannin vakio , on lämpötila , . Lisäksi tilojen integraali voidaan kirjoittaa muodossa: $h$ $k$ $T$ $\theta =kT$

z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT)) \right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\oikea)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left (-{\frac {u}{kT}}\oikea)\mathrm {d} V.

Siksi Gibbsin jakauma, joka on normalisoitu yksikköön kaasumolekyylille ulkoisen kentän läsnäollessa, on muotoa:

\mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2 }}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac { u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V)).

Tuloksena olevaa todennäköisyysjakaumaa, joka kuvaa todennäköisyyttä, että molekyylillä on liikemäärä tietyllä aikavälillä ja se on tietyssä tilavuuselementissä, kutsutaan Maxwell-Boltzmann-jakaumaksi .

Jotkut ominaisuudet

Kun tarkastellaan Maxwell-Boltzmann-jakaumaa, yksi tärkeä ominaisuus on silmiinpistävä - se voidaan esittää kahden tekijän tulona:

\mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\oikea)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\ oikea].

Ensimmäinen tekijä ei ole muuta kuin Maxwell-jakauma , se luonnehtii impulssien todennäköisyysjakaumaa. Toinen tekijä riippuu vain hiukkasten koordinaateista ja sen määrää potentiaalienergian tyyppi; se kuvaa todennäköisyyttä löytää hiukkanen tilavuudessa d . $V$

Todennäköisyysteorian mukaan Maxwell -Boltzmann-jakaumaa voidaan pitää kahden riippumattoman tapahtuman todennäköisyyksien tulona - liikemäärän arvon toteutuminen tietyssä "vauhtivälissä" ja molekyylin sijainnin toteutuminen tietyssä " koordinaatti" intervalli. Ensimmäinen:

\mathrm {d} w_{p}={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\oikea)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}

on Maxwell-jakauma; toinen mahdollisuus:

\mathrm {d} w_{r}={\frac {e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac { u}{kT}}}\mathrm {d} V}}

on Boltzmann-jakauma. On selvää, että jokainen niistä on normalisoitu ykseyteen.

Boltzmann-jakauma on ihanteellisen kaasun kanonisen Gibbsin jakauman erikoistapaus ulkoisessa potentiaalikentässä, koska hiukkasten välisen vuorovaikutuksen puuttuessa Gibbsin jakauma hajoaa yksittäisten hiukkasten Boltzmann-jakaumien tuotteeksi.

Todennäköisyyksien riippumattomuus antaa tärkeän tuloksen: liikemäärän tietyn arvon todennäköisyys on täysin riippumaton molekyylin sijainnista ja päinvastoin molekyylin sijainnin todennäköisyys ei riipu sen liikemäärästä. Tämä tarkoittaa, että hiukkasten liikemäärä (nopeus)jakauma ei riipu kentästä, toisin sanoen se pysyy samana pisteestä pisteeseen siinä tilassa, johon kaasu on suljettu. Vain hiukkasen havaitsemisen todennäköisyys tai vastaavasti hiukkasten lukumäärä muuttuu.

Katso myös

Bibliografia

Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice–Hall, Inc., 2001, New Jersey.
Raj Pathria , "Statistical Mechanics", Butterworth-Heinemann, 1996.