Arvostus

Arvostus on yleistys mittakäsitteestä , joka yleensä määritellään euklidisen avaruuden konvekseihin ryhmiin .

Määritelmä

Antaa olla kaikkien ei-tyhjien kompaktien kuperajoukkojen luokka . Arvostus on sellainen funktio , että tasa-arvo $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

pätee kaikkiin sellaisiin , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Muistiinpanot

Arvostuksen sanotaan olevan jatkuva , jos se on jatkuvaa Hausdorffin metriikan suhteen .
Arvostuksen sanotaan olevan liike-invariantti, jos jollekin liikkeelle φ ja mille tahansa liikkeelle $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Esimerkkejä

Keskimääräinen poikkimitta

$k$ -kappaleen keskimääräinen poikittaismitta määritellään projektioiden keskimääräiseksi -ulotteiseksi alueeksi -ulotteisille tasoille. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Erityisesti,

$W_{n}(S)$ - äänenvoimakkuus , $S$
$W_{n-1}(S)$ on verrannollinen pinta-alaan . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Diracin arvostus

Pisteen Dirac-arvostus määritellään seuraavasti ${\displaystyle \delta _{x))$ $x$

\delta _{x}(U)={\begin{cases}0&{\text{if}}~x\notin U\\1&{\text{if}}~x\in U\end{ tapaukset}}

Ominaisuudet

Hadwigerin lause : Mikä tahansa jatkuva arvostus, joka on invariantti liikkeissä, voidaan esittää ristimittojen lineaarisena yhdistelmänä.
Mikä tahansa kokonaislukupolytooppien arvo, joka on invariantti kokonaislukusiirtymien alla ja joka ilmaistaan Earhart-polynomin kertoimien lineaarisena yhdistelmänä . [yksi] $\mathrm {SL} (n,\mathbb {Z} )$

Kirjallisuus

Semyon Alesker Johdatus konveksien sarjojen arvostuksen teoriaan Videotallenteet luennoista, Kesämatematiikan koulu "Algebra ja geometria" 25.-31.7.2014 Jaroslavl

Muistiinpanot

↑ Betke, Ulrich; Kneser, Martin (1985) Zerlegungen und Bewertungen von Gitterpolytopen, J. Reine Angew. Matematiikka. 358, 202-208.