Hadwigerin lause

Hadwigerin lause luonnehtii jatkuvia arvostuksia konvekseille kappaleille euklidisessa avaruudessa, jotka ovat invariantteja liikkeissä. Todisti Hugo Hadwiger .

Johdanto

Arvostukset

Antaa olla kaikkien ei-tyhjien kompaktien kuperajoukkojen luokka . Arvostus on sellainen funktio , että tasa-arvo $K^n$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K^n$ $v:K^{n}\to \mathbb {R}$

v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)

pätee kaikkiin sellaisiin , ${\displaystyle S,T\in K^{n))$ $S\cup T\in K^{n}$

Jossa

Arvostuksen sanotaan olevan jatkuva , jos se on jatkuvaa Hausdorffin metriikan suhteen .
Arvostuksen sanotaan olevan liike-invariantti, jos jollekin liikkeelle φ ja mille tahansa liikkeelle $S\in K^{n}$ $v(S)=v(\phi (S))$

Keskimääräinen poikittaismitta

$k$ -kappaleen keskimääräinen poikittaismitta määritellään projektioiden keskimääräiseksi -ulotteiseksi alueeksi -ulotteisille tasoille. $W_{k}(S)$ $S\in K^{n}$ $k$ $S$ $k$

Erityisesti,

$W_{n}(S)$ - äänenvoimakkuus , $S$
$W_{n-1}(S)$ on verrannollinen pinta-alaan . $S$
$W_{k}(\lambda \cdot S)=|\lambda |^{k}\cdot W_{k}(S)$

Sanamuoto

Mikä tahansa jatkuva arvostus v K n :llä, joka on muuttumaton liikkeiden alla, voidaan esittää muodossa

v(S)=\sum _{j=0}^{n}c_{j}{\cdot }W_{j}(S).

Kirjallisuus

Semyon Alesker Johdatus konveksien sarjojen arvostuksen teoriaan Videotallenteet luennoista, Kesämatematiikan koulu "Algebra ja geometria" 25.-31.7.2014 Jaroslavl
Hadwiger, H. Vorlesungen über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie. - Berliini: Springer, 1957.
Klain, D.A.; Rota, G.-C. Johdatus geometriseen todennäköisyyteen (neopr.) . - Cambridge: Cambridge University Press , 1997. - ISBN 0-521-59362-X .
Chen, B. Yksinkertaistettu perustodistus Hadwigerin tilavuuslauseesta // Geom . Dedicata: päiväkirja. - 2004. - Voi. 105 . - s. 107-120 . - doi : 10.1023/b:geom.0000024665.02286.46 .