Paino matriisi

Matematiikassa painotettu järjestysmatriisi painolla on -matriisi siten, että missä on matriisin transponointi , ja on järjestyksen identiteettimatriisi . Painomatriisia kutsutaan myös painokaavioksi . $W$ $n$ $w$ $n\ kertaa n$ ${\näyttötyyli (0,1,-1)}$ $WW^{T}=wI_{n}$ $W^{T}$ $W$ $Sisään}$ $n$

Mukavuuden vuoksi järjestys- ja painopainomatriisi merkitään usein nimellä . $n$ $w$ $W(n,w)$

$W(n,n-1)$ vastaa konferenssimatriisia ja vastaa Hadamard - matriisia . $W(n,n)$

Ominaisuudet

Jotkut ominaisuudet seuraavat suoraan määritelmästä:

Painomatriisin rivit ovat pareittain ortogonaalisia. Samoin sarakkeille.
Jokainen rivi ja jokainen sarake sisältää täsmälleen ei-nolla-elementtejä. $w$
$W^{T}W=wI$ , koska se seuraa määritelmästä (oletetaan, että paino ei ole yhtä suuri kuin 0). ${\displaystyle W^{-1}=w^{-1}W^{T))$
${\displaystyle \mathrm {det} (W)=\pm w^{n/2))$ , missä on matriisin determinantti . $det(W)$ $W$

Kahta painomatriisia pidetään ekvivalenttina, jos toinen voidaan saada toisesta alkuperäisen matriisin rivien ja sarakkeiden permutaatioiden sarjalla ja kertomalla miinus yhdellä. Painomatriisit on täysin luokiteltu tapauksille, joissa , sekä kaikille tapauksille, joissa . [1] . Tätä lukuun ottamatta kiertopainomatriisien luokittelusta tiedetään hyvin vähän . $w\leq 5$ $n\leq 15$

Esimerkkejä

Huomaa, että painomatriiseja esitettäessä käytetään symbolia −1. $-$

Annetaan kaksi esimerkkiä: on painomatriisi (Hadamard-matriisi) ja on painomatriisi. $W_2$ $W(2,2)$ $W_{7}$ $W(7,4)$

$W_{2}={\begin{pmatrix}1&1\\1&-\end{pmatrix}}$
$W_{7}={\begin{pmatrix}1&1&1&1&0&0&0\\1&-&0&0&1&1&0\\1&0&-&0&-&1\\1&0&0&-&0&-&-\\0&1&-&0&0&0&1&1&0 &-&1&0\end{pmatrix}}$

Avoimet kysymykset

Painomatriiseista on monia avoimia kysymyksiä. Tärkein näistä on niiden olemassaolo: mille luvuille n ja w on olemassa W ( n , w )? Paljon tässä asiassa jää tuntematta. Yhtä tärkeä, mutta usein tutkimaton kysymys on, kuinka ne lasketaan: kuinka monta matriisia W ( n , w ) on annettu n ja w :n perusteella ? Syvemmin voisi ihmetellä luokittelua rakenteen suhteen, mutta nykyään se on paljon kykyjemme ulkopuolella, jopa Hadamard-matriisien tai konferenssimatriisien osalta.

Linkit

Hotellingin punnitusongelmasta , Alexander M. Mood, Ann. Matematiikka. tilasto. Osa 17, numero 4 (1946), 432-446.

Muistiinpanot

↑ M. Harada, A. Munemasa, Punnitusmatriisien ja itseortogonaalisten koodien luokittelusta, 2011, http://arxiv.org/abs/1011.5382 Arkistoitu 21. tammikuuta 2022 Wayback Machinessa .