Korkeampi symmetria

Korkeampi symmetria ( yleistetty symmetria ) on yksi matematiikan alan peruskäsitteitä - ryhmäanalyysi .

Määritelmä

K:nnen kertaluvun korkeampi symmetria muodon osittaiselle differentiaaliyhtälölle

u_{t}=f(u,u_{x},u_{xx},...),\,(1)

voidaan määritellä muodon yhtälöksi

u_{\tau }=\omega (u,u_{x},u_{xx},...,u_{k}),\,(2)

siten, että yhtälön eriyttäminen suhteessa antaa oikean identiteetin: $(yksi)$ $\tau$

(u_{t}-f)_{\tau }|_{u_{t}=f}=0.\,(3)

Muuten he sanovat, että yhtälön perusteella tapahtuva eriyttäminen antaa oikean identiteetin. Riippumaton apumuuttuja on analoginen ryhmäparametrin kanssa klassisissa symmetrioissa. $(yksi)$ $(2)$ $\tau$ $a$

On helppo osoittaa, että ehto voidaan kirjoittaa symmetriseen muotoon: $(3)$

(u_{t})_{\tau }=(u_{\tau })_{t}.\,(4)

Suurempien symmetrioiden laskemiseen on kätevää käyttää rekursiooperaattoria. Esimerkiksi Burgersin yhtälö

{\displaystyle u_{t}=u_{xx}+2uu_{x))

mahdollistaa rekursiooperaattorin

R=D_{x}+u+u_{1}D_{x}^{-1}.

Tärkeä kysymys differentiaaliyhtälön integroitavuuden tutkimuksessa on korkeampien symmetrioiden äärettömän hierarkian läsnäolo. Hyvin usein tätä ominaisuutta pidetään integroitavan yhtälön määritelmänä. Tällainen määritelmä on niin tehokas, että sen avulla voidaan luokitella integroitavia yhtälöitä ja vastata kysymykseen, onko tietty yhtälö integroitavissa.

Kirjallisuus

Olver P. Lie-ryhmien sovellukset differentiaaliyhtälöihin. - M .: Mir, 1989. - 639 s.