Bieberbachin hypoteesi

Bieberbachin olettamus on saksalaisen tiedemiehen L. Bieberbachin vuonna 1916 tekemä todistettu oletus, joka koski univalenttien funktioiden laajenemiskertoimien ylärajaa Taylor-sarjassa .

Merkitse — kompleksitason avointa yksikköympyrää: . $\Delta$ $\Delta =\{z:|z|<1\}$

$S$ on joukko analyyttisiä ja yksiarvoisia funktioita , joiden laajennus Taylor-sarjassa on muodon nollan läheisyydessä: $\Delta$ $f(z)$

f(z)=z+\sum _{{n=2}}^{{\infty }}c_{n}z^{n}.

Hypoteesin mukaan kertoimet , ja vain muodon Koebe-funktioille $|c_{n}|\leqslant n$ $c_{n}=n$

k_{\theta }(z)={\frac {z}{(1-ze^{{i\theta }})^{2}}}.

Oletuksen todisteiden historia

1916 - esitettiin hypoteesi. Bieberbach osoitti oletuksen pätevyyden . $n = 2$
1923 - hypoteesi . Todiste Charles Löwner $n = 3$ , todistusta varten luotiin Löwnerin parametrinen menetelmä .
1955 - todiste . Tekijät - Garabedyan $n = 4$ , Schiffer. Todistuksessa käytettyä menetelmää kutsuttiin Schifferin menetelmäksi.
1968, 1969 - kaksi itsenäistä teosta todisteilla olettamuksesta - Roger N. Pederson, Mitsuru Ozawa . $n = 6$
1972 - arvelu - Pederson, Schiffer todistetaan. $n = 5$

1925 - Littlewood todistaa sen kaikille . $|c_{n}|\leqslant e\cdot n$ $n$
1951 - Bazilevich , Milin Isaak Moiseevich : suhde on todistettu . $|c_{n}|\leqslant e/2\cdot n+{\mathrm {const))$
1965 - Milin: . $|c_{n}|\leqslant 1{,}243\cdot n$
1971 - Milin: ehdottaa, että hänen rakentamansa logaritmien funktioiden sekvenssi (Milin-funktiot) ei ole positiivinen millekään luokan S funktiolle, ja huomauttaa, että tämä ominaisuus sisältää todisteen Bieberbach-oletuksesta.
1972 - Carl FitzGerald: . $|c_{n}|\leqslant {\sqrt {7/6}}n$
1984 - todiste Bieberbachin hypoteesin oikeellisuudesta, kirjoittaja - Louis de Branges .

Koepf W. Bieberbachin olettamus, de Brangesin ja Weinsteinin funktiot ja Askey-Gasperin epätasa-arvo // The Ramanujan Journal, kesäkuu 2007, osa 13, numero 1–3, s. 103–129. https://doi.org/10.1007/s11139-006-0244-2