Hadwigerin arvelu (kombinatorinen geometria)

Hadwigerin hypoteesi (kombinatorinen geometria) on kombinatorisen geometrian hypoteesi , jonka mukaan mikä tahansa kupera kappale -ulotteisessa euklidisessa avaruudessa voidaan peittää -pienemmillä kappaleilla , jotka ovat homoteettisia peitetyn kappaleen kanssa [1] ja että suuntaissärmiöt ovat ainoita kappaleita, jotka voidaan peittää. vain -pienemmät homoteettiset kappaleet peittävät kehon kappaleet. Tämän hypoteesin paikkansapitävyyttä ei tunneta . $n$ $2^{n}$ $2^{n}$ $n\geqslant 3$

Historia

Hygoteesin esitti Hugo Hadwiger vuonna 1957 [2] A.Yu. Levin ja Yu.I. Petunin osoitti, että epäyhtälö on totta mille tahansa -ulotteiselle keskisymmetriselle kuperalle kappaleelle . [3] Vuonna 1963 Rogers sai arvion keskisymmetrisistä kappaleista [4] $n$ ${\displaystyle N\leqslant (n+1)^{n))$ $N\leqslant 2^{n}(n\ln n+n\ln \ln n+5n)$

Muotoilu valaistusongelman kannalta

Voidaan osoittaa, että pienin määrä kappaleita, jotka ovat homoteettisia alkuperäiseen nähden, joka tarvitaan peittämään -ulotteinen kupera kappale, on yhtä suuri kuin pienin määrä suuntia, joka riittää valaisemaan tämän kappaleen kokonaan. [5] $n$

Muistiinpanot

↑ Boltyansky, 1965 , s. 47.
↑ Hadwiger H. Ungelöste Probleme, nro 20, Elem. der Math., 12 (1957), 121
↑ Boltyansky, 1965 , s. 48.
↑ Boltyansky, 1965 , s. 49.
↑ Boltyansky, 1965 , s. 57.

Kirjallisuus

V.G. Boltyansky , I.Ts. Gohberg . Kombinatorisen geometrian lauseet ja ongelmat . - M .: Nauka, 1965. - 107 s.