Sileä toiminta

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 26. huhtikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Tasainen funktio tai jatkuvasti differentioituva funktio on funktio , jolla on jatkuva derivaatta koko määritelmäjoukossa. Hyvin usein sileät funktiot tarkoittavat funktioita, joilla on jatkuvat johdannaiset kaikista järjestyksistä.

Perustiedot

Myös korkeamman asteen sileät funktiot otetaan huomioon, nimittäin funktiolla, jolla on tasaisuusaste, on jatkuvia derivaattoja kaikista asteista aina mukaan lukien (nolla-asteen derivaatta on itse funktio). Tällaisia toimintoja kutsutaan - sileiksi . Toimialueelle määritetty -smooth-funktioiden joukko on merkitty . Merkintä tarkoittaa, että mille tahansa funktiolle tällaisia funktioita kutsutaan äärettömän sileiksi ( joskus sileillä funktioilla ne tarkoittavat täsmälleen äärettömän sileää). Joskus käytetään myös merkintää tai , mikä tarkoittaa, että se on analyyttinen . $r\geqslant 0$ $r$ $r$ $r$ $\Omega$ $C^{r}(\Omega )$ $f\in C^{\infty }(\Omega )$ $f\in C^{r}(\Omega )$ $r$ $f\in C^{\omega }(\Omega )$ $f\in C^{a}(\Omega )$ $f$

Onko esimerkiksi joukko funktioita, jotka ovat jatkuvassa päällä, ja on joukko funktioita, jotka ovat jatkuvasti differentioituvia , eli funktioita, joilla on jatkuva derivaatta tämän alueen jokaisessa pisteessä. $C^{0}(\Omega )$ $\Omega$ $C^{1}(\Omega )$ $\Omega$

Jos sileysjärjestystä ei ole määritelty, niin yleensä oletetaan, että riittää, että kaikki funktiolle suoritetut toiminnot on järkeviä nykyisen argumentin aikana.

Approksimaatio analyyttisten funktioiden mukaan

Antaa olla alueen ja , . _ Antaa olla sarja kompakteja osajoukkoja siten, että , Ja . Antaa olla mielivaltainen sarja positiivisia kokonaislukuja ja . Lopuksi anna olla mielivaltainen positiivisten lukujen sarja. Sitten on olemassa reaalianalyyttinen funktio , joka määritellään siten , että mille tahansa epäyhtälölle $\Omega$ $\mathbb {R} ^{n}$ $f\in C^{k}(\Omega )$ $0\leqslant k\leqslant \infty$ $\{K_{p}\}$ $\Omega$ $K_{0}=\varnothing$ $K_{p}\alajoukko K_{{p+1}}$ $\bigcup K_{p}=\Omega$ $\{n_{p}\}$ $m_{p}=\min(k,\;n_{p})$ $\{\varepsilon _{p}\}$ $g$ $\Omega$ $p\geqslant 0$

\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},

jossa tarkoittaa kaikkien kertalukujen nollasta inklusiiviseen funktion derivaattojen normien maksimiarvoa ( yhdenmukaisen konvergenssin merkityksessä , eli joukon maksimimoduulia ). $\|fg\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p))))}$ ${K_{p+1}\backslash K_{p}}$ $fg$ ${\näyttötyyli {m_{p))}$

Osittainen sileys

Differentioituvien funktioiden luokkien hienoa analyysiä varten otetaan käyttöön myös pisteen murtotasoisuuden käsite tai Hölder -eksponentti , joka yleistää kaikki edellä mainitut sileyden käsitteet. Funktio kuuluu luokkaan , jossa on ei-negatiivinen kokonaisluku ja jos sillä on derivaattoja järjestykseen asti ja se on Hölder eksponentin kanssa . $f$ $C^{{r,\;\alpha }}$ $r$ $0<\alpha \leqslant 1$ $r$ $f^{{(r)}}$ $\alpha$

Käännetyssä kirjallisuudessa termin "Hölder-eksponentti" kanssa käytetään termiä "Lipschitz-eksponentti".

Sileä toiminta

Perustiedot

Approksimaatio analyyttisten funktioiden mukaan

Osittainen sileys

Katso myös