Hadamardin Lemma

Hadamardin lemma ( englanniksi Hadamard's lemma , ranskaksi Lemme de Hadamard ) on lause, joka kuvaa sileän reaalifunktion rakennetta. Nimetty ranskalaisen matemaatikon Jacques Hadamardin mukaan [1] .

Olkoon pisteen kuperassa ympäristössä määritelty luokan funktio , jossa . Sitten on luokan funktioita, jotka on määritelty kohdassa , jolloin yhtäläisyys pätee kaikkiin [1] $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $g_{1},\;\ldots ,\;g_{n}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})\in U$

f(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})=f(0)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{ i}(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n}),\quad g_{i}(0)={\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(0 ).

Jos funktio on analyyttinen, yllä olevan kaavan funktiot ovat analyyttisiä. $f$ ${\displaystyle g_{1},\;\ldots ,\;g_{n))$

Yleistetty sanamuoto

Hadamardin lemma voidaan muotoilla yleisempään muotoon, kun osa muuttujista toimii parametreina:

Antaa olla luokan funktio , jossa , määritelty pisteen kuperassa ympäristössä ja . Sitten on luokan funktioita, jotka on määritelty siten, että yhtäläisyys pätee kaikkiin $f(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ $C^{r}$ $r\geqslant 1$ $U$ $0$ $x=(x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})$ $y=(y_{1},\;\ldots ,\;y_{m})$ $g_{1}(x,\,y),\;\ldots ,\;g_{n}(x,\,y)\colon \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R } ^{m}\to \mathbb {R}$ $C^{r-1}$ $U$ $(x,\,y)\in U$

f(x,\,y)=f(0,\,y)+\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,\;g_{i}(x,\, y),\quad g_{i}(0,\,y)={\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(0,\,y).

Todiste .

Tarkastellaan apufunktiota , jossa on ylimääräinen reaalimuuttuja (parametri). Ajetaan segmentin arvot läpi , sitten funktio , jota pidetään funktiona jokaiselle parametrin kiinteälle arvolle , kulkee muuttujien funktioiden avaruudessa jonkin käyrän päässä ja . $f(tx,\,y)=f(tx_{1},\,\ldots ,\,tx_{n},\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $t$ $t$ $[0,\,1]$ $f(tx,\,y)$ $\mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R}$ $t$ $n+m$ $f(0,\,y)$ $f(x,\,y)$

Kun otetaan huomioon muuttujan funktio parametreista ja , ja sovelletaan Newton-Leibnizin kaavaa , voimme kirjoittaa: $f(tx,\,y)$ $t$ $x\in R^{n}$ ${\displaystyle y\in R^{m))$

f(x,\,y)-f(0,\,y)=\int _{0}^{1}{\frac {df(tx,\,y)}{dt))\, dt=\int _{0}^{1}\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(tx, \,y)\,dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}g_{i}(x,\,y),

missä

g_{i}(x,\,y):=\int _{0}^{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{i))}(tx,\,y) \,dt.

Vaadittu funktioiden tasaisuus seuraa hyvin tunnetusta lauseesta integraalin differentiaatiosta parametrin mukaan, mikä todistetaan matemaattisen analyysin aikana. $g_{i}(x,\,y)$

Sovellukset

Hadamardin lemman avulla voimme saada useita hyödyllisiä seurauksia, jotka löytävät sovelluksia matematiikan eri aloilla, ensisijaisesti singulaariteettiteoriassa .

Morsen lemma on helppo todistaa käyttämällä Hadamardin lemmaa .
Toinen Hadamardin lemman hyödyllinen seuraus (yleistetyssä muodossaan) on, että jos sileän funktion alkio katoaa hypertasolla , niin se voidaan esittää missä on jokin sileä funktio. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $x=0$ $f=x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),$ $g$
Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa sileän funktion alkiolla on esitys missä ja ovat sileät funktiot. $f(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,g(x,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_ {m}),$ $f_{0}=f(0,\,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $g$
Induktiota käyttämällä on myös helppo saada yleisempi käsitys täältä:

f=f_{0}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})+x\,f_{1}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{ m})+\lpisteet +x^{n}\,f_{n}(y_{1},\,\lpisteet ,\,y_{m})+x^{n+1}\,g(x, \,y_{1},\,\ldots ,\,y_{m}),

missä ja ovat sileät funktiot ja on mielivaltainen luonnollinen luku. $f_{i}(y_{1},\,\ldots ,\,y_{m})$ $g$ $n$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 Zorich V.A. Matemaattinen analyysi.

Kirjallisuus

Zorich V.A. Matemaattinen analyysi.
Pavlova N.G., Remizov A.O. Johdatus singulaarisuusteoriaan . - M. : MIPT, 2022. - 181 s. - ISBN 978-5-7417-0794-4 .