Determinismin aksiooma

Determinismin aksiooma on joukkoteorian aksiooma , jota yleensä merkitään AD . Puolalaiset matemaatikot Jan Mycielski ja Hugo Steinhaus [1] ehdottivat tätä aksioomaa vuonna 1962 valinnan aksiooman (otettiin käyttöön vuonna 1904, AC ) korvaamiseksi . Syynä valinnan aksiooman vaihtoehdon etsimiseen olivat tämän aksiooman epätavalliset seuraukset, jotka aiheuttivat ja aiheuttavat edelleen kritiikkiä joidenkin matemaatikoiden taholta. Esimerkiksi valinnan aksiooman soveltamisen tapauksessa syntyy paradoksaalisia rakenteita, kuten " pallon tuplauksen paradoksi ". Monet matemaatikot ovat havainneet, että joukoilta, joiden olemassaolo todistetaan valintaaksioomalla, puuttuu yksilöllisyys siinä mielessä, että niiden koostumusta ei voida tyhjentävästi kuvata selkeän valintaalgoritmin puuttuessa [2] .

Klassisilla matematiikan aloilla ( lukuteoria , laskenta jne.) AC :n korvaaminen AD : llä ei muuta mitään, mutta joukkoteoriassa ja topologiassa determinismin aksiooman seuraukset poikkeavat merkittävästi monien valinnan aksiooman seurauksista. tavoilla. Esimerkiksi AD :sta seuraa, että kaikki reaalilukujoukot ovat mitattavissa, jatkumoongelma ratkeaa yksiselitteisesti (ei ole välikardinaliteettia), eikä pallon tuplausparadoksia esiinny.

Determinismin aksiooma on jo olemassaolollaan herättänyt suurta kiinnostusta matematiikan perusteiden asiantuntijoiden keskuudessa, sille on omistettu monia julkaisuja [3] , erityisesti kuvailevan joukkoteorian alalla . Tämän aksiooman kannattajien mukaan joukkoteorian tilanne muistuttaa nyt ei-euklidisen geometrian löytämisen jälkeistä tilannetta - voidaan huomata, että joukkoteoriaa ei ole yhtä, vaan ainakin kaksi, ja kysymys kumpi niistä on oikein on merkityksetöntä. Kannattajat huomauttavat myös, että determinismin aksioomiin perustuva joukkoteoria on enemmän johdonmukainen matemaattisen intuition kanssa kuin valinnan aksioomiin perustuva [2] [4] .

Deterministiset pelit

Determinismin aksiooma on helpoin määritellä ei joukkoteorian , vaan peliteorian termein [5] . Tarkastellaan jotakin (kiinteää) joukkoa A, joka koostuu luonnollisten lukujen äärettömistä sarjoista (sellaiset sekvenssit muodostavat topologisen Baer-avaruuden ).

Määritellään peli kahdelle hengelle seuraavilla säännöillä. Pelin aloittava pelaaja I kirjoittaa luonnollisen luvun. Pelaaja II, tietäen tämän liikkeen, kirjoittaa luvun. Sitten he jatkavat vuorotellen jonkin sekvenssin muodostamista - pelaaja I valitsee sen parilliset elementit, pelaaja II - parittomat. Peli kestää toistaiseksi, mutta sen tulos julistetaan seuraavan säännön mukaan: jos muodostettu sekvenssi sisältyy annettuun sarjaan A, niin pelaaja I voitti, muuten pelaaja II. $G_{A}$ $a_{0}.$ $a_{1}.$

On helppo havaita, että jos joukko A on äärellinen tai laskettava, niin pelaajalla II on yksinkertainen voittostrategia – i. siirrolla (jossa on pariton, ) valitaan luku, joka ei ole sama kuin i . joukon A i:s sekvenssi ("diagonaalinen menetelmä"). Tällöin tuloksena oleva sekvenssi ei varmasti täsmää minkään joukon A elementin kanssa. Lisäksi oletetaan, että yleensä jokaisella pelaajalla on oma strategiansa, toisin sanoen on olemassa selkeä algoritmi, joka osoittaa seuraavan numeron jokaiselle joukon fragmentille. luotu sekvenssi (mukaan lukien ensimmäinen, tyhjä). $n$ $n$ $n=2m+1$ $n$ $m$

Pelaajan I strategiaa kutsutaan voitavaksi , jos jokaiselle alkuperäiselle fragmentille (jos fragmentti ei ole tyhjä, niin pariton), jossa jokainen parillisen indeksin omaava termi määritettiin tällä strategialla, se pystyy löytämään sellaisen , että lopullinen ääretön sekvenssi ( pelaajan II) vastausten muodostama kuuluu joukkoon A. Pelaajan II voittostrategia määritellään samalla tavalla – sen on ehdotettava numeroita, jotka lopulta estävät vastustajaa muodostamasta A-sarjaan sisältyvää tulosta. ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots a_{n))$ $n$ $a_{{n+1}}$

Joukkoa A (ja sitä vastaavaa peliä ) kutsutaan deterministiseksi, jos jollakin pelaajista on voittostrategia. $G_{A}$

Pelisäännöistä käy selvästi ilmi, että tilanne, jossa molemmilla pelaajilla on voittostrategia, on mahdoton. On myös selvää, että determinismin ominaisuuden olemassaolo riippuu joukosta A. Yllä on esimerkki, kun peli on varmasti deterministinen (jos joukko A on äärellinen tai laskettava). Siten determinismin ominaisuudella ei itse asiassa ole peli, vaan joukkoteoreettinen luonne [6] .

Lausuma determinismin aksioomasta

Mikä tahansa joukko A on deterministinen.

Tämän aksiooman tutkimisen aikana siitä ilmestyi muunneltuja versioita:

Reaalideterminismin aksiooma on vahvistettu versio jatkumojoukoille.
Axiom AD+ on toinen vahvistettu versio.
Projektiivisen determinismin aksiooma on erityinen muunnelma projektitiivisille joukoille.

Determinismin aksiooman ja valinnan aksiooman vertailu

Lisäksi Zermelo-Fraenkel-joukkoteorian yleisesti hyväksytty aksiomatiikka (lyhennettynä ZF ) sisältyy kauttaaltaan . Determinismin aksioomasta seuraa (reaalilukujen alalla) laskettavan valinnan aksiooma , johon matemaattisen analyysin peruslauseet perustuvat . Siksi uusi aksiooma on yhteensopiva klassisen matematiikan kanssa. Se on kuitenkin ristiriidassa täydellisen valinnan aksiooman kanssa — on todistettu [6] , että valinnan aksiooman avulla on mahdollista rakentaa ei-deterministinen joukko A, joka on suoraan ristiriidassa determinismin aksiooman kanssa.

Monet kilpailevien aksioomien seuraukset joukkoteoriassa ja topologiassa ovat vastakkaisia. Valinnan aksiooman avulla osoitetaan, että on olemassa joukko reaalilukuja , jotka eivät ole mitattavissa Lebesguen merkityksessä ; determinismin aksioomasta seuraa, että sellaisia joukkoja ei ole olemassa – kaikki reaalilukujen joukot ovat mitattavissa. Jatkonuumin ongelma ratkaistaan eri tavalla ( laskettavan ja jatkuvan välipotenssien olemassaolo ) - Zermelo-Fraenkelin aksiomatiikka sallii minkä tahansa kahdesta vaihtoehdosta tämän ongelman ratkaisemiseksi (eli sitä ei voida todistaa eikä kumota), kun taas Determinismin aksiooma johdetaan ainutlaatuinen ratkaisu: mikä tahansa ääretön lukematon joukko reaalilukuja on jatkuva. On myös lukuisia muita eroavaisuuksia: determinismin aksiooman avulla ei voida järjestää täysin mitkä tahansa, vaan vain äärelliset ja laskettavat joukot, epästandardianalyysi menettää perusteensa [7] . Yllä mainittu kuvaileva joukkoteoria on erityisen huonosti yhdenmukainen valinnan aksiooman kanssa - monet tässä teoriassa esitetyistä hypoteeseista, kuten jatkumohypoteesi, osoittautuivat ratkaisemattomiksi, kun taas determinismin aksiooma sallii näiden hypoteesien tiukan todistamisen; tämä selittää kuvaavaa joukkoteoriaa opiskelevien matemaatikoiden suuren kiinnostuksen tätä aksioomaa kohtaan [8] .

Muistiinpanot

↑ Mycielski, Jan; Steinhaus, Hugo. (1962). Matemaattinen aksiooma, joka on ristiriidassa valinnan aksiooman kanssa. Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences. Serie des Sciences Mathematiques, Astronomiques et Physiques 10:1-3. ISSN 0001-4117. MR 0140430.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , s. 3, 4.
↑ Kanovey V.G., 1985 , s. 5, 15.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 29.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 30-33.
↑ 1 2 Kanovey V. G., 1984 , s. 33-35.
↑ Kanovey V.G., 1984 , s. 51.
↑ Kanovey V.G., 1985 , s. neljä.

Kirjallisuus

Aleksandrov PS Johdatus joukkoteoriaan ja yleiseen topologiaan. - M .: Nauka, 1977. - 368 s. — 3 luku, 4 §.
Kanovey VG Valinnan aksiooma ja determinismin aksiooma. - M .: Nauka, 1984. - 64 s. — (Tieteen ja teknisen kehityksen ongelmat).
Kanovei VG Determinismin aksiooma ja kuvailevan joukkoteorian moderni kehitys // Itogi Nauki i Tekhniki. Sarja: Algebra. Topologia. Geometria. - M .: VINITI, 1985. - T. 23 . - S. 3-60 .
Matemaattisen logiikan hakuteos. Osa II. Joukkoteoria = Matemaattisen logiikan käsikirja / J. Barweiss - M .: Nauka , 1983. - 392 s.
Kleinberg EM Infinitaarinen kombinatoriikka ja määräytymisaksiooma. - Berliini: Springer, 1977.
Martin DA Determinateness- ja pelkistysperiaatteiden aksiooma analyyttisessä hierarkiassa // Tiedote. amer. Matematiikka. soc. - 1968. - Voi. 74, nro 4. - P. 687-689.
Moschovakis YM Kuvaileva joukkoteoria. - Amsterdam: Pohjois-Hollanti, 1980.