Murtolukuintegrojohdannainen

Murtolukuintegrojohdannainen
Pääteema	Fraktaalilaskenta [d]
Kaava, joka kuvaa lakia tai lausetta	$\mathbb {D} ^{q}f$

Murto-integro-differentiointi matemaattisessa analyysissä on yhdistetty differentiointi / integrointioperaattori , jonka järjestys voi olla mielivaltainen reaali- tai kompleksiluku. Käytetään murtolaskennassa . Operaattori itsessään tarkoittaa murto -luvun derivaatan/integraalin ottamista .

Operaattori merkitään yleensä seuraavasti: $\mathbb {D} _{t}^{q}.$

Määritelmät

Kolme yleisimmin käytettyä kaavaa ovat:

Riemann-Liouville-differentiaaliintegraali

Yksinkertaisin ja yleisimmin käytetty sanamuoto. Tämä kaava on yleistys Cauchyn iteroidun integrointikaavan mielivaltaiseen järjestykseen .

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t -\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau ,$

missä .

n=\lceil q\rceil

Grunwald-Letnikov-differentiaaliintegraali

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}( -1)^{j}{q \choose j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\oikea]\oikea).$

Weylin integrojohdannainen

Muodollisesti se on samanlainen kuin Riemann-Liouville-integroderivaatio, mutta se ulottuu jaksollisiin funktioihin , joissa integraali on nolla ajanjakson aikana.

Määritelmät muunnoksilla

Merkitse jatkuva Fourier-muunnos seuraavasti : ${\mathcal {F}}$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

Fourier-avaruudessa differentiaatio vastaa tuotetta:

{\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\ oikea]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].

Siksi,

\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\ },

joka tiivistyy

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F} [f(t)]\oikea\}.

Tässä tarkoitetun Laplace-muunnoksen alla differentiaatio korvataan kertolaskulla $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].

Yleistämällä mielivaltaiseen differentiaatiojärjestykseen ja ratkaisemalla yhtälön , saamme $\mathbb {D} ^{q}f(t)$

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f( t)]\oikea\}.

Perusominaisuudet

Lineaarisuus:

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+ \mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).

Nollasääntö:

\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.

Tuotteen murto-integro-differentiointi:

\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{qj}g(t).

Puoliryhmän omaisuus:

\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b }f(t).

ei yleensä ole tyytyväinen [1] .

Joitakin tärkeitä kaavoja

$\mathbb {D} ^{q}(t^{n})={\frac {\Gamma (n+1)}{\Gamma (n+1-q)))t^{nq};$
$\mathbb {D} ^{q}(\sin(t))=\sin \left(t+{\frac {q\pi }{2}}\right);$
$\mathbb {D} ^{q}(e^{at})=a^{q}e^{at}.$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ katso ominaisuus 2.4 (s. 75) julkaisussa Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Theory and Applications of Fractional Differential Equations. – Elsevier, 2006.

Kirjallisuus

Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Murtointegraalit ja derivaatat ja niiden sovellukset . - Mn. : Tiede ja tekniikka, 1987. - 688 s.
Pskhu AV Yhtälöt murto-osaderivaataina. - M. : Nauka, 2005. - 199 s.
Nakhushev A. M. Murtoluku ja sen sovellus. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 272 s. — ISBN 5-9221-0440-3 .
Uchaikin VV Murtojohdannaisten menetelmä. - Uljanovsk: Artishok, 2008. - 512 s. - 400 kappaletta. - ISBN 978-5-904198-01-5 .

Tarasov VE Teoreettisen fysiikan mallit murto-integro-differentioinnilla. - M. , Izhevsk: RHD, 2011. - 568 s.
Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Teoria ja sovellukset murto-differentiaaliyhtälöistä. – Amsterdam: Elsevier, 2006.
Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI Murto-integraalit ja derivaatat teoria ja sovellukset. - New York: Gordon and Breach, 1993.
Miller K., Ross B. Johdatus murtolaskentaan ja murto-eroyhtälöihin. - New York: Wiley, 1993.
Mainardi F. Murtolaskenta ja aallot lineaarisessa viskoelastisuudessa: Johdatus matemaattisiin malleihin. - Imperial College Press, 2010. - 368 s.
Podlubny I. Murtolukudifferentiaaliyhtälöt. - San Diego: Academic Press, 1999.
Ross B. Murtolaskennan perusteorian lyhyt historia ja kuvaus // Lect. Huomautuksia Math. - 1975. - Voi. 457. - s. 1-36.
Tarasov VE Murtodynamiikka: Murtolaskennan sovellukset hiukkasten, kenttien ja välineiden dynamiikkaan . - Springer, 2010. - 450 s.
Uchaikin VV :n murtojohdannaiset fyysikoille ja insinööreille . - Springer, Higher Education Press, 2012. - 385 s.

Linkit

Murtolukulaskenta ja sovellettu analyysi (1998–2014) ja murtolaskenta ja sovellettu analyysi (vuodesta 2015)
Edistyminen murto-erottelussa ja sovelluksissa
Kommunikaatio murtolaskennassa (ISSN 2218-3892)