Riemann-Liouville-differentiaaliintegraali

Matematiikassa Riemann-Liouvillen differentiaaliintegraali kartoittaa reaalifunktion toiseen samantyyppiseen funktioon parametrin kullekin arvolle . Tämä differentiaaliintegraali on iteroidun antiderivaatan yleistys siinä mielessä, että positiivisille kokonaisluvuille on järjestysfunktion iteratiivinen derivaatta . Riemann–Liouville-differentiaaliintegraali on nimetty Bernhard Riemannin ja Joseph Liouvillen mukaan, joista jälkimmäinen pohti ensimmäisenä murtolaskennan mahdollisuutta vuonna 1832. [1] Tämä operaattori on yhdenmukainen Euler-muunnoksen kanssa toimiessaan analyyttisiin funktioihin $f\kaksoispiste\R\to\R$ $I^{\alpha }f$ $\alpha >0$ $f$ $\alpha$ $I^{\alpha }f$ $f$ $\alpha$ . [2] Sen yleisti mielivaltaisiin mittoihin Marcel Rees , joka esitteli Rees-potentiaalin .

Riemann-Liouville-integraali määritellään seuraavasti:

I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int \limits _{a}^{x}f(t)(xt)^{ \alpha -1}\,dt,

missä on gammafunktio , ja se on mielivaltainen mutta kiinteä vertailupiste. Se, että tämä integraali on hyvin määritelty, varmistaa funktion paikallinen integroitavuus , on kompleksiluku puolitasossa . Riippuvuus referenssipisteestä ei usein ole merkittävää ja edustaa vapautta valita integrointivakio . on tietysti funktion (ensimmäisen kertaluvun) antiderivaata , positiivisilla kokonaisluvuilla on Cauchyn iteroidun integrointikaavan mukaisen järjestyksen antiderivaata . Toisessa merkinnässä, joka korostaa riippuvuutta referenssipisteestä, se on muotoa [3] : $\Gamma$ $a$ $f$ $\alpha$ $\mathrm {Re} \,\alpha >0$ $a$ $I^{1}f$ $f$ $\alpha$ $I^{\alpha }f$ $\alpha$

{}_{a}\mathbb {D} _{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )))\int \limits _{ a}^{x}f(t)(xt)^{\alpha -1}\,dt.

Tämä ilmaus on järkevä myös :lle asianmukaisin rajoituksin . $a=-\infty$ $f$

Perussuhteet säilyvät:

{\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\ beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,

joista viimeinen on puoliryhmäominaisuus . [1] Nämä ominaisuudet mahdollistavat murto-integroinnin, mutta myös murto-osion differentioinnin määrittämisen ottamalla riittävän määrän funktion derivaattoja . $I^{\alpha }f$

Ominaisuudet

Antaa olla kiinteä rajallinen väli . Operaattori kartoittaa minkä tahansa integroitavan funktion funktioon , joka on myös integroitavissa Fubinin lauseella . Siten määrittää lineaarisen operaattorin avaruuteen : $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $f$ $(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{1}(a,\;b)$

I^{\alpha }\colon L^{1}(a,\;b)\to L^{1}(a,\;b).

Fubinin lauseesta seuraa myös, että tämä operaattori on jatkuva Banach-avaruuden rakenteen suhteen . Siten seuraava epätasa-arvo on totta: $L^1$

\|I^{\alpha }f\|_{1}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha }}{\mathrm {Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.

Tässä tarkoittaa normia . _ ${\displaystyle \|\cdot \|_{1))$ $L^{1}(a,\;b)$

Yleisemmässä tapauksessa Hölderin epäyhtälöstä seuraa, että jos kuuluu , niin kuuluu myös ja samanlainen epäyhtälö pätee: $f$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $L^{p}(a,\;b)$

\|I^{\alpha }f\|_{p}\leqslant {\frac {|ba|^{\mathrm {Re} \,\alpha \,/\,p)){\mathrm { Re} \,\alpha \,|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p},

missä on välin tilanormi . Siten määrittelee rajoitetun lineaarisen operaattorin itseensä. Lisäksi se pyrkii -sense at pitkin todellista akselia. Tuo on: ${\displaystyle \|\cdot \|_{p))$ $L^{p}$ $(a,\;b)$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $L^{p}(a,\;b)$ $I^{\alpha }f$ $f$ $L^{p}$ $\alpha \to 0$

\lim _{\alpha \to 0+}\|I^{\alpha }ff\|_{p}=0

kaikille . Lisäksi operaattorin maksimifunktiota arvioimalla voidaan osoittaa pisteittäinen konvergenssi lähes kaikkialla . $p\leqslant 1$ $minä$ $I^{\alpha }f\to f$

Operaattori on hyvin määritelty paikallisesti integroitavissa olevien toimintojen joukossa koko todellisella linjalla . Se määrittelee rajatun kuvauksen mihin tahansa Banach-avaruuteen eksponentiaalityyppisille funktioille , jotka koostuvat paikallisesti integroitavista funktioista, joille normi ${\displaystyle I^{\alpha ))$ $\mathbb {R}$ $X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}\,dt)$

\|f\|=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt

rajallinen. Outille funktion Laplace-muunnos on erityisen yksinkertaisessa muodossa : $f$ ${\displaystyle X_{\sigma ))$ $I^{\alpha }f$

({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s),

missä . Tässä funktion Laplace-muunnos on merkitty ja tämä ominaisuus ilmaisee, että se on Fourier-kerroin . $\mathrm {Re} \,s>\sigma$ $F(s)$ $f$ ${\displaystyle I^{\alpha ))$

Murtolukujohdannaiset

Voit myös määrittää funktion murto-luvun derivaatat : $f$

{\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f{\overset {\mathrm {def} }{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \ rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f,

jossa tarkoittaa operaatiota, jossa otetaan kokonaisluku osa . Differentiaali-integraali- interpolaatio voidaan myös saada differentioinnin ja integroinnin välille määrittämällä: $\lceil \cdot \rceil$

\mathbb {D} _{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\dfrac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \ alpha \rceil ))}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x),&\alpha >0;\\f(x),&\alpha =0;\\I^{-\ alfa }f(x),&\alpha <0.\end{cases}}

Muistiinpanot

↑ 1 2 Lizorkin, PI (2001), Fraktionaalinen integrointi ja differentiointi , julkaisussa Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Brychkov, Yu.A. & Prudnikov, A. P. (2001), Euler-muunnos , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
↑ Miller & Ross, 1993 , s. 21

Linkit

Hille, Einar & Phillips, Ralph S. (1974), Funktionaalinen analyysi ja puoliryhmät , Providence, RI: American Mathematical Society .
Miller, Kenneth S. & Ross, Bertram (1993), An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations , John Wiley & Sons, ISBN 0-471-58884-9 .
Riesz, Marcel (1949), L'intégrale de Riemann-Liouville et le problème de Cauchy , Acta mathematica osa 81 (1): 1–223, ISSN 0001-5962 , DOI 10.1007/BF02395016 .
Alan Beardon. Murtoluku II . Cambridgen yliopisto (2000). Arkistoitu alkuperäisestä 17. toukokuuta 2012. (määrätön)
Alan Beardon. Murtoluku III . Cambridgen yliopisto (2000). Arkistoitu alkuperäisestä 17. toukokuuta 2012. (määrätön)