Jordanov totient

Jordan-totient tai Jordan-funktio [1] on luonnollisten lukujen monikoiden lukumäärä, jotka ovat pienempiä tai yhtä suuria kuin , muodostaen yhdessä joukon koprime - lukuja (yhdessä). Funktio on yleistys Euler-funktiosta , joka on yhtä suuri kuin . Funktio on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jordanin mukaan . $k$ $n$ $n$ $J_{1}$

Määritelmä

Jordan-funktio on kertova ja se voidaan laskea kaavasta

J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k))}\right)\,

, jossa kulkee :n alkujakajien läpi .

s

n

Ominaisuudet

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,$ ,

joka voidaan kirjoittaa Dirichlet-konvoluutiokielellä [ 2]

J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,

, ja Möbius-inversioiden kautta as

{\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\tähti n^{k))

. Koska Dirichlet-generointifunktio on , ja Dirichlet-generointifunktio on , sarjasta tulee

\mu

1/\zeta(s)

n^{k}

\zeta (sk)

{\displaystyle J_{k))

\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)} }

Keskimääräinen järjestys [ yhtäläisille $J_{k}(n)$

{\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)))

Dedekind psi -funktio on yhtä suuri kuin

\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)))

ja tarkastelemalla määritelmää (huomaa, että jokainen tekijä alkulukujen tulossa on ympyräpolynomi ), voidaan osoittaa, että aritmeettiset funktiot, jotka on määritelty tai ovat kokonaislukukertojafunktioita. ${\displaystyle p_{-k))$ ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)))$ ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))$

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_ {r+s}(n)$ . [3] [4]

Matriisiryhmien järjestys

Täydellä lineaarisella matriisien ryhmällä järjestys on järjestys [5] $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operaattorin nimi {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^ {m}J_{k}(n).

Erityisellä lineaarisella järjestysryhmällä on järjestys $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operaattorin nimi {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2))\prod _{k=2}^ {m}J_{k}(n).

Symplektisellä järjestysmatriisien ryhmällä on järjestys $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operaattorin nimi {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}( n).

Jordan löysi kaksi ensimmäistä kaavaa.

Esimerkkejä

OEIS J 2 : n tiedot A007434 , J 3 A059376 , J 4 A059377 , J 5 A059378 , J 6 - J 10 luettelot A069091 - A069095 .

Kertovat funktiot, jotka määritellään suhteella J 2 (n)/J 1 (n) muodossa A001615 , J 3 (n)/J 1 (n) muodossa A160889 , J 4 (n)/J 1 (n) muodossa A160891 , J 5 (n)/J 1 (n) A160893 :ssa , J 6 (n)/J 1 (n) A160895 :ssä , J 7 (n)/J 1 (n) A160897 :ssä , J 8 (n)/J 1 (n ) ) . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Esimerkkejä J2k ( n)/ Jk (n)-suhteista: J4(n)/J2(n) A065958 : ssa , J6 (n)/J3(n) A065959 : ssä ja J 8 ( n )/J 4 (n) julkaisussa A065960 .

Muistiinpanot

↑ Jordanissa on muitakin toimintoja. Joten Merzlyakov kirjoittaa: " Lause . On olemassa "Jordan-funktio" , jolla on seuraava ominaisuus: jokainen äärellinen ryhmä G sisältää Abelin normaalin alaryhmän A , jonka indeksi on . $J:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $GL_{n}(\mathbb {C} )$ $\leqslant L(n)$
↑ Sandor, Crstici, 2004 , s. 106.
↑ Holden, Orrison, Varble .
↑ Gegenbauerin kaava
↑ Andrica, Piticari, 2004 .

Kirjallisuus

Dickson LE History of the Theory of Numbers , Voi. I. - Chelsea Publishing , 1971. - S. 147. - ISBN 0-8284-0086-5 .
M. Ram Murty. Ongelmia analyyttisessä lukuteoriassa. - Springer-Verlag , 2001. - T. 206. - S. 11. - ( Matematiikan tutkinnon tekstit ). - ISBN 0-387-95143-1 .
Jozsef Sandor, Borislav Crstici. Lukuteorian käsikirja II. - Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. - S. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7 .
Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Vielä yksi yleistys Eulerin Totient-funktiosta . Arkistoitu alkuperäisestä 5. maaliskuuta 2016.
Dorin Andrica, Mihai Piticari. Joistakin Jordanin aritmeettisten funktioiden laajennuksista // Acta universitatis Apulensis. - 2004. - Nro 7 .

Linkit

Merzlyakov Yu.I. rationaalisia ryhmiä. - Moskova: "Nauka", 1980. - (Moderni algebra).

Euler-funktio
Euler-funktio $\phi(n)$ Jordan-toiminto $J_{k}(n)$ Carmichael-toiminto $\lambda (n)$ ei-totient numero Ei-kohdenumero High-Tient -numero Suuri osamäärä Hieman totient numero