Ampèren laki

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. helmikuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 16 muokkausta .

Ampèren laki – sähkövirtojen vuorovaikutuksen laki . André Marie Ampère asensi sen ensimmäisen kerran vuonna 1820 tasavirtaa varten. Ampèren laista seuraa, että yhdensuuntaiset johtimet , joiden sähkövirta virtaa yhteen suuntaan, vetävät puoleensa ja hylkivät vastakkaisiin suuntiin. Ampèren lakia kutsutaan myös laiksi, joka määrittää voiman, jolla magneettikenttä vaikuttaa pieneen osaan virtaa kuljettavasta johtimesta. Voima osoittautuu lineaarisesti riippuvaiseksi sekä virrasta että magneettisesta induktiosta . Ilmaisu voimalle , jolla magneettikenttä vaikuttaa virrantiheydellä olevan johtimen tilavuuselementtiin , joka sijaitsee magneettikentässä, jossa on induktio , kansainvälisessä yksikköjärjestelmässä (SI) on muotoa: $B$ $d{\vec F}$ $dV$ $\vec j$ ${\vec {B}}$

d{\vec {F}}={\vec {j}}\times {\vec {B}}dV.

Jos virta kulkee ohuen johtimen läpi, niin , missä on johtimen "pituuselementti" - vektori, joka on yhtä suuri itseisarvoltaan ja yhtyy virran suuntaan. Sitten voiman lauseke kirjoitetaan uudelleen muotoon . ${\vec j}dV=Id{\vec l}$ $d{\vec l}$ $dl$ $d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}}$

Ampèren lain fyysinen sisältö

Ampèren laki ymmärretään joukkona lauseita ja kaavoja, jotka kuvaavat voiman vaikutusta virtaa kuljettavaan johtimeen magneettikentästä - mahdollisesti toisen virtaa kuljettavan johtimen luomana. Laki määrittelee:

virtaa käyttävän johtimen pienen segmentin vaikutusvoima toiseen pieneen segmenttiin , jolla on virta : $dl_{1}$ $I_1$ $dl_{2}$ $minä_{2}$

d^{2}{\vec {F}}_{12}={\frac {\mu _{0}I_{1}I_{2}}{4\pi }}\cdot {\frac {d{\vec {l}}_{2}\times [d{\vec {l}}_{1}\times ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}} _{1})]}{|{\vec {r}}_{1}-{\vec {r}}_{2}|^{3}}}=I_{2}d{\vec {l }}_{2}\times d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

, missä ja ovat johtimien pituuselementtien sädevektorit ja , ja on elementin voima (luodaan kentän pisteeseen ) elementtiin ; on magneettinen vakio;

{\vec {r}}_{1}

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {l}}_{2}

d^{2}{\vec {F}}_{12}

d{\vec {l}}_{1}

d{\vec {B}}_{1}({\vec {r}}_{2})

{\vec {r}}_{2}

d{\vec {l}}_{2}

\mu_{0}

kahden johtavan suljetun silmukan vuorovaikutusvoima muotoa ja virtojen kanssa ja : $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ $minä_{2}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}

, missä ja ovat sädevektorit , jotka kulkevat ääriviivojen kaikkien pisteiden läpi , , Ja on voima, jolla ääriviiva-1 vaikuttaa muotoon-2. Itse asiassa tämä on edellisen kappaleen lausekkeen integrointi;

{\mathbf {r}}_{1}

{\mathbf {r}}_{2}

C_{1}

C_{2}

{\mathbf {F}}_{{12}}

voima, jolla magneettikenttä vaikuttaa johtimen segmenttiin virralla (A), tasaiseen osaan virralla (A / m) tai pieneen tilavuuteen virralla (A / m 2 ): $dl$ $minä$ $dS$ $\vec{i}$ $dV$ $\vec{j}$

d{\vec {F}}=Id{\vec {l}}\times {\vec {B}},\qquad d{\vec {F}}={\vec {i}}dS\ kertaa {\vec {B)),\qquad d{\vec {F}}={\vec {j}}dV\times {\vec {B}}

. Voiman suunta määräytyy ristitulon laskentasäännön mukaan . Sen moduuli langan tapauksessa on , missä on virran ja virran suunnan välinen kulma . Voima on suurin, kun johdin on kohtisuorassa magneettisen induktion linjoille ( ). Integroinnin avulla voit saada kentän voiman kohteeseen kokonaisuutena.

d{\vec F}

dF=IBdl\sin \alpha

\alpha

{\vec {B}}

\alpha =90^{\circ }

Kahden rinnakkaisen johtimen tapaus

Tunnetuin esimerkki Ampèren voimasta on seuraava ongelma. Tyhjiössä kaksi ääretöntä rinnakkaista johdinta sijaitsevat etäisyyden päässä toisistaan, joissa virrat ja virtaavat samaan suuntaan . On löydettävä johtimen pituusyksikköä kohti vaikuttava voima. $r$ $I_1$ $minä_{2}$

Biot- Savart -Laplacen lain mukaan ääretön johdin, jonka virta on etäisyyden päässä olevasta pisteestä, luo magneettikentän, jossa on induktio $I_1$ $r$

{\vec {B}}_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}}{r}}\, {\vec {e}}_{\varphi }

missä on magneettivakio , on yksikkövektori ympyrää pitkin , jonka symmetria - akseli on virtajohto . $\mu_0$ ${\vec {e}}_{\varphi }$ $I_1$

Amperen lain mukaan löydämme voiman, jolla ensimmäinen johtime vaikuttaa pieneen osaan toisesta: $d{\vec {l))$

d{\vec {F}}_{12}=I_{2}d{\vec {l}}\times {\vec {B}}_{1}(r).

Vasemman käden säännön mukaan se on suunnattu ensimmäiseen johtimeen (samalla tavalla ensimmäiseen johtimeen vaikuttava voima on suunnattu toiseen johtimeen). Siksi johtimet houkuttelevat. $d{\vec {F}}_{12}$ $d{\vec {F}}_{21}$

Tämän voiman moduuli ( on johtimien välinen etäisyys): $r$

dF_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}dl.

Integroimme johtimen pituuden yli (integrointirajat yli 0 - ): $L$ $l$ $L$

F_{12}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {2I_{1}I_{2}}{r}}\cdot L.

Jos - yksikköpituus, tämä lauseke asettaa halutun vuorovaikutusvoiman. $L$

Tuloksena olevaa kaavaa käytetään SI:ssä magneettivakion numeerisen arvon määrittämiseen . Itse asiassa ampeeri , joka on yksi SI- perusyksiköistä , määritellään siinä "muuttumattoman virran voimakkuudeksi, joka kulkiessaan kahden rinnakkaisen suoraviivaisen johtimen läpi, joiden pituus on äärettömän pieni ja pyöreä poikkipinta-ala, sijaitsee tyhjiö 1 metrin etäisyydellä toisistaan, aiheuttaisi kullekin 1 metrin pituiselle johtimen osalle vuorovaikutusvoiman, joka on 2⋅10 −7 Newtonia " [1] . $\mu_0$

Siten saadusta kaavasta ja ampeerin määritelmästä seuraa, että magneettivakio on yhtä suuri kuin H / A² tai, joka on sama, H / m täsmälleen . $\mu_0$ $4\pi \kertaa 10^{{-7}}$ $4\pi \kertaa 10^{{-7}}$

Ampèren lain ilmenemismuotoja

Kolmivaiheisen vaihtovirran renkaiden (johtimien) sähködynaaminen muodonmuutos sähköasemilla oikosulkuvirtojen vaikutuksesta .
Irrottaa kiskoaseiden johtimet ammuttaessa .

Sovellus

Kaikissa sähkötekniikan solmuissa, joissa sähkömagneettisen kentän vaikutuksesta jokin elementti liikkuu, käytetään Ampèren lakia. Sähkömekaanisten koneiden toimintaperiaate ( roottorikäämin osan liike suhteessa staattorikäämityksen osaan ) perustuu Ampèren lain käyttöön, ja yleisin ja käytetty yksikkö lähes kaikissa teknisissä rakenteissa on sähkömoottori , tai , joka on rakenteellisesti lähes sama, generaattori . Roottori pyörii ampeerivoiman vaikutuksesta, koska staattorin magneettikenttä vaikuttaa sen käämiin ja saa sen liikkeelle. Kaikki sähköajoneuvot käyttävät ampeerivoimaa pyörittämään akseleita, joilla pyörät sijaitsevat (raitiovaunut, sähköautot, sähköjunat jne.).

Lisäksi magneettikenttä saa liikkeelle sähkölukkojen mekanismit (sähköovet, liukuportit, hissin ovet). Toisin sanoen kaikki sähköllä toimivat laitteet, joissa on liikkuvia osia, perustuvat Ampèren lain hyödyntämiseen.

Sitä käytetään myös monissa muissa sähkötekniikan tyypeissä , esimerkiksi dynaamisessa päässä (kaiuttimessa): kaiuttimessa (kaiuttimessa) kestomagneettia käytetään virittämään kalvoa, joka tuottaa äänivärähtelyjä, ja lähellä olevan johtimen luoma sähkömagneettinen kenttä virralla, vaikuttaa ampeerivoima, joka muuttuu halutun äänitaajuuden mukaan.

Myös:

Elektrodynaaminen plasmapuristus ; esimerkiksi tokamaksissa , Z-pinch -asetuksissa .
Elektrodynaaminen puristusmenetelmä .
Sähkömagneettinen pumppu

Ampeerivoima ja Newtonin kolmas laki

Olkoon kaksi ohutta johdinta virroilla ja , joiden muoto on käyrät ja , jotka annetaan sädevektoreilla ja . $I_1$ $minä_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

Näiden johtimien äärettömän pienten osien vuorovaikutusvoimien osalta Newtonin kolmas laki ei täyty. Ampère-voima nimittäin ensimmäisen johtimen elementin iskussa toisen johtimen elementtiin ei ole yhtä suuri kuin voima, joka on otettu vastakkaisella merkillä, joka vaikuttaa toisen johtimen elementistä ensimmäisen johtimen elementtiin : $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})\neq -\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-I_{1}\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})

Tässä ja ovat kenttä, joka on luotu ensimmäisen ja toisen johtimen osuudella. Tämä tosiasia ei millään tavalla vaaranna Newtonin dynamiikkaa, koska tasavirta voi virrata vain suljetussa piirissä - ja siksi Newtonin kolmannen lain tulee toimia vain niille voimille, joiden kanssa kaksi suljettua virtaa kuljettavaa johinta ovat vuorovaikutuksessa. Toisin kuin yksittäiset elementit, Newtonin laki pätee suljetuille silmukaille: $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}$ $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=-\mathbf {F} _{21}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) (I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))

missä ja on kokonaan ensimmäisen ja kokonaan toisen johdon (eikä niiden erillisten osien) luoma kenttä. Kenttä löydetään kussakin tapauksessa Biot-Savart-Laplace-kaavan avulla . $\mathbf {B} _{1}$ ${\displaystyle \mathbf {B} _{2))$

tarkempi esittely

Olkoon kaksi ohutta johdinta virroilla ja , joiden muoto on käyrät ja , jotka annetaan sädevektoreilla ja . Toisen johtimen virtaelementtiin vaikuttava voima toisen johtimen virtaelementin puolelta löytyy Biot-Savart-Laplacen lain mukaan: pisteessä oleva virtaelementti luo pisteeseen alkeismagneettikentän . $I_1$ $minä_{2}$ $C_{1}$ $C_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{1} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Ampèren lain mukaan voima, joka vaikuttaa kentän sivulta pisteessä olevaan virtaelementtiin on yhtä suuri kuin $\mathrm {d} \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}=I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Pisteessä oleva virtaelementti luo pisteeseen alkeismagneettikentän $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0} \over 4\pi }{\frac {I_{2} [\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]}{|\mathbf {r} _{2}-\ mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Pisteessä sijaitsevaan virtaelementtiin kentän puolelta vaikuttava ampeerivoima on yhtä suuri kuin $\mathrm {d} \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathrm {d} \mathbf { B} _{2}(\mathbf {r} _{1})={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {[\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\ mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Yleisessä tapauksessa mielivaltaisille ja voimille eivätkä edes ole kollineaarisia, mikä tarkoittaa, että ne eivät noudata Newtonin kolmatta lakia: . ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}+\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}\neq 0$

Tämä tulos ei kuitenkaan osoita Newtonin dynamiikan epäonnistumista tässä tapauksessa. Yleisesti ottaen tasavirta voi virrata vain suljetussa piirissä. Siksi Newtonin kolmatta lakia tulisi soveltaa vain niihin voimiin, joiden kanssa kaksi suljettua virtaa johtavaa johinta ovat vuorovaikutuksessa. Voidaan nähdä, että kahdelle tällaiselle johtimelle Newtonin kolmas laki täyttyy.

Anna käyrien ja olla kiinni. Sitten virta luo magneettikentän pisteeseen $C_{1}$ $C_{2}$ $I_1$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})={\mu _{0}I_{1} \yli 4\pi }\oint \limits _{\mathbb { C} _{1)){\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{| \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}},

jossa integrointi yli suoritetaan virran suunnassa . Ampeerivoima, joka vaikuttaa kentän puolelta virtapiiriin , on yhtä suuri kuin $C_{1}$ $I_1$ $\mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2})$ $C_{2}$ $minä_{2}$

\mathbf {F} _{12}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times \mathbf {B} _{1}(\mathbf {r} _{2}))=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}(I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\times {\mu _{0}I_{1} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3))))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \yli 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3} }},

jossa integrointi yli suoritetaan virran suunnassa . Integrointijärjestyksellä ei ole väliä. $C_{2}$ $minä_{2}$

Samoin virran puolelta virtaa sisältävään piiriin virran luoman kentän puolelta vaikuttava ampère-voima on yhtä suuri kuin $\mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1})$ $minä_{2}$ $C_{1}$ $I_1$

\mathbf {F} _{21}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\times \mathbf {B} _{2}(\mathbf {r} _{1}))={\mu _{0}I_{1}I_{2} \yli 4\pi }\oint \limits _{\ mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} ^ {2}\mathbf {F} _{21}.

Tasa -arvo vastaa tasa-arvoa $\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}- \mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}

Tämän viimeisen yhtäläisyyden todistamiseksi on huomattava, että Ampère-voiman lauseke on hyvin samanlainen kuin magneettikentän kierto suljetussa piirissä, jossa ulompi pistetulo korvataan ristitulolla.

Lagrangen identiteettiä käyttämällä voidaan kirjoittaa kaksoisvektoritulo todistettavan yhtälön vasemmalla puolella seuraavasti:

[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]=\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf { r} _{1})-(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}).

Sitten todistettavan tasa-arvon vasen puoli saa muodon:

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _ {2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}-\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d } \mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^ {3}}}.

Tarkastellaan erikseen integraalia , joka voidaan kirjoittaa uudelleen seuraavaan muotoon: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {1}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2 }-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}\ oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} (\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}}.

Muutamalla sisemmän integraalin muuttuja arvoon , jossa vektori muuttuu suljettua ääriviivaa pitkin , huomaamme, että sisäintegraali on gradienttikentän kierto suljettua ääriviivaa pitkin. Joten se on yhtä kuin nolla: ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} ( \mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}))}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}}} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {3}}}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}(\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\ mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Tämä tarkoittaa, että koko kaksoiskäyräintegraali on yhtä suuri kuin nolla. Tässä tapauksessa voima voidaan kirjoittaa: ${\mathbf {F}}_{{12}}$

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Voiman lauseke voidaan johtaa voiman lausekkeesta yksinkertaisesti symmetrianäkökohtien perusteella. Tätä varten korvaamme indeksit: vaihdamme 2:ksi 1:ksi ja 1:ksi 2:ksi. Tässä tapauksessa voimme kirjoittaa voimalle: ${\mathbf {F}}_{{21}}$ ${\mathbf {F}}_{{12}}$ ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }.

Nyt se on aivan selvää . Tämä tarkoittaa, että Ampèren voima täyttää Newtonin kolmannen lain suljettujen johtimien tapauksessa. $\mathbf {F} _{12}=-\mathbf {F} _{21}$

Jotkut historialliset näkökohdat

Tehosteen tunnistus

Vuonna 1820 Hans Christian Oersted havaitsi, että virtaa kuljettava lanka luo magneettikentän ja saa kompassin neulan taipumaan. Hän huomasi, että magneettikenttä oli kohtisuorassa virran suhteen, eikä sen suuntainen, kuten voisi odottaa. Ampère sai Oerstedin kokeen esittelyn inspiroimana selville, että kaksi rinnakkaista virtaa kuljettavaa johdinta vetäytyvät tai hylkivät sen mukaan, virtaako virta samaan vai vastakkaiseen suuntaan. Joten virta ei vain tuota magneettikenttää, vaan magneettikenttä vaikuttaa virtaan. Jo viikko sen jälkeen, kun Oersted ilmoitti kokemuksestaan, Ampère tarjosi selityksen: johdin vaikuttaa magneettiin, koska virta kulkee magneetissa monia pieniä suljettuja polkuja [2] [3] .

Voiman kaavan valinta

Kahden alkeissähkövirran vuorovaikutuslain, joka tunnetaan nimellä Ampèren laki, itse asiassa ehdotti myöhemmin Grassmann (eli sitä olisi oikeampaa kutsua Grassmannin laiksi).

Alkuperäisellä Ampèren lailla oli hieman erilainen muoto: pisteessä sijaitsevan virtaelementin pisteessä sijaitsevan virtaelementin sivulta vaikuttava voima on yhtä suuri kuin ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\left( 2(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{1}-\ mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}\oikea)

Pisteessä sijaitsevan virtaelementin pisteessä sijaitsevan virtaelementin sivulta vaikuttava voima voidaan saada voimakaavasta yksinkertaisesti symmetrianäkökohtien perusteella korvaamalla indeksit: 2 1:llä ja 1 2:lla. $I_{2}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\displaystyle I_{1}\mathrm {d} \mathbf {r} _{1))$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Tässä tapauksessa , eli alkuperäinen Ampèren laki täyttää Newtonin kolmannen lain jo differentiaalimuodon osalta. Ampère, kokeiltuaan useita ilmaisuja, päätyi vain tähän. $\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{21}=-\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}$

Jos Newtonin kolmannen lain rikkomista harkittaessa on mahdotonta sietää Newtonin kolmannen lain rikkomista (itse asiassa ei-vakiovirtojen) vuorovaikutusvoiman laskemiseksi, on mahdollisuus käyttää alkuperäistä Ampèren lakia. Grassmannin lain tapauksessa lisäfyysinen kokonaisuus, magneettikenttä, on otettava huomioon kolmannen lain noudattamatta jättämisen kompensoimiseksi.

Voidaan todistaa, että alkuperäisen Ampèren lain integraalimuodossa voimat, joiden kanssa kaksi tasavirtaista suljettua johdinta vuorovaikuttavat, ovat samat kuin Grassmannin laissa.

todiste

Tämän todistamiseksi kirjoitamme voiman seuraavassa muodossa: ${\mathbf {F}}_{{21}}$

\mathbf {F} _{21}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})(\mathrm {d} \mathbf { r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}|^{3}} }+{\mu _{0}I_{1}I_{2} \yli 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)){\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{ 1}|^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}}).

Ilmeisesti, jotta voima osoittautuisi samaksi kuin Grassmannin laissa, riittää, kun todistetaan, että toinen termi on yhtä suuri kuin nolla. Edelleen tarkastellaan toista termiä ilman kertoimia integraalien etumerkkien edessä, koska nämä kertoimet eivät ole yhtä suuret kuin nolla yleisessä tapauksessa, ja siksi itse kaksoiskäyrä-integraalin on oltava yhtä suuri kuin nolla.

Merkitään siis . Ja sinun on todistettava se $\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {(\mathbf {r } _{2}-\mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}((\mathrm { d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})-3{\frac {(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _ {1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{2}}})$ $\mathbf {P} =0$

Oletetaan, että integrointi suoritetaan ensin ääriviivaa pitkin . Tässä tapauksessa on mahdollista tehdä muuttujan muutos: , jossa vektori muuttuu suljetussa silmukassa . Sitten voi kirjoittaa ${\mathbf {P}}$ $C_{2}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1))$ $\mathbf {r}$ $C_{2}'$

\mathbf {P} =\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}{\frac {\mathbf {r } }{|\mathbf {r} |^{3}}}((\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} )-3{\frac { (\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{|\mathbf {r} |^ {2}}}).

Nyt, kun integroidaan ääriviivan yli , saadaan jokin vektorifunktio , joka sitten integroidaan ääriviivan yli . $C_{2}'$ ${\mathbf {r}}_{1}$ $C_{1}$

Voidaan osoittaa, että se voidaan esittää muodossa , jossa molemmat gradientit on otettu muuttujan päälle . Todistus on triviaali, riittää, kun suoritetaan gradientin ottaminen. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} ),\mathrm {d} \mathbf {r } _{yksi})$ $\mathbf {r}$

Lisäksi Lagrangen identiteetin mukaan voimme kirjoittaa:

{\begin{aligned}&\mathrm {grad} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=\nabla (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}),\mathrm {d} \mathbf {r} )=[\mathrm {d} \mathbf { r} ,[\nabla ,\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})]]+(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\nabla )\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})=\\&=0+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial x}\mathrm {d} x+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) \over \partial y}\mathrm {d} y+{\partial \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))) \over \partial z}\mathrm {d} z=\mathrm {d} (\ mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))\\\end{aligned}}.

Tässä nolla osoittautui gradienttikentän roottoriksi. Tuloksena on vektorifunktion kokonaisdifferentiaali

$\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}})$ . Joten nyt voimme esittää sen muodossa . Tämä integraali voidaan ottaa integroimalla jokainen projektio erikseen. Integroidaan esimerkiksi projektio x. ${\mathbf {P}}$ $\mathbf {P} =-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathbf {r} (\ mathrm {d} (\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})$

P_{x}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}x(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }x).

Minkä tahansa suljetun silmukan kokonaisdifferentiaalin integraali on yhtä suuri kuin nolla: , joten se on muodossa: $\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (x\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |}}) )=0$ $P_{x}$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C } _{2}'}\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d} x)=\oint \limits _{\mathbb {C} _ {1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}{\frac {\mathbf {r} _{1}- \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\mathrm {d} x_{2}).

Tällä kertaa meidän on integroitava ensin ääriviivan yli . Tehdään muuttujan muutos: , jossa vektori muuttuu suljettua ääriviivaa pitkin . Sitten voi kirjoittaa $C_{1}$ ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2))$ $\mathbf {r}$ $C_{1}'$

P_{x}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'} (\mathrm {d} \mathbf {r} ,{\frac {\mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3))})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} x_{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {d} \mathbf {r} ,\mathrm {grad} ({ \frac {1}{|\mathbf {r} |}}))=0,

jossa gradientti otetaan jälleen muuttujan ylle . $\mathbf {r}$

Koska gradienttikentän kierto suljettua ääriviivaa pitkin ilmestyi taas lausekkeeseen, niin . $P_{x}=0$

Samalla tavalla voimme kirjoittaa kahdelle jäljellä olevalle projektiolle:

P_{y}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}y(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (y\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }y)=0,

P_{z}=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}z(\mathrm {d} ( \mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))),\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})=-\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}'}\mathrm {d} (z\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |))))-\mathrm {grad} ({\frac {1}{|\mathbf {r} |)))\mathrm {d }z)=0.

Joten . $\mathbf {P} =0$

Maxwell ehdotti kahden alkeisjohtimen vuorovaikutuslain yleisimmän muodon virran kanssa, jossa kerroin k on läsnä (se ei voida määrittää ilman joitain oletuksia, jotka perustuvat kokeisiin, joissa aktiivinen virta muodostaa suljetun silmukan) [4] :

\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\frac {1}{2}}{\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4 \pi }\left({\begin{aligned}&(3-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \ mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3 ))}-3(1-k){\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r } _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf { r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{5))}-\\&-(1+k){\frac { \mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}) }{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-(1+k){\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}\\\end{aligned}}\right).

Ampère otti teoriassaan Gaussin mukaan Grassmannin ja Clausiuksen tavoin . _ Ei-eetterisissä elektronisissa teorioissa Weber omaksui ja Riemann omaksui . Ritz jätti teoriassaan määrittelemättömäksi. $k = -1$ $k=+1$ $k = -1$ $k=+1$ $k$

Kahden suljetun ääriviivan ja vakiolausekkeen vuorovaikutusvoimalle saadaan . $C_{1}$ $C_{2}$ $k=+1$

laskennan yksityiskohdat

{\begin{aligned}&\mathrm {d} ^{2}\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi } \left({\frac {(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})(\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathrm {d} \ mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{1}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{2})}{|\mathbf {r } _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}| ^{3}}}\right)=\\&={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\left({\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}-{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}(\mathbf {r} _ {1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2 }|^{3}}}\oikea)\\\end{aligned}}.

Tässä kaksi ensimmäistä termiä yhdistettiin Lagrangen identiteetin mukaan, kun taas kolmas termi, kun se integroidaan suljettujen ääriviivojen yli , antaa nollan. Todella, $C_{1}$ $C_{2}$

\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _ {2}(\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2},\mathrm {d} \mathbf {r} _{1})}{|\mathbf {r} _{1 }-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}=\left[{\begin{aligned}&\mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\\&C_{1}\rightarrow C_{1}'\\\end{aligned}}\right]=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{\mathbb {C} _{1}'}{\frac {(\mathbf {r} ,\mathrm {d} \mathbf {r} )}{ |\mathbf {r} |^{3}}}=\oint \limits _{\mathbb {C} _{2}}\mathrm {d} \mathbf {r} _{2}\oint \limits _{ \mathbb {C} _{1}'}(\mathrm {grad} {\frac {1}{|\mathbf {r} |}},\mathrm {d} \mathbf {r} )=0.

Siten saamme Maxwellin antaman Ampèren lain muodon:

\mathbf {F} _{12}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 4\pi }\oint \limits _{\mathbb {C} _{2)) \oint \limits _{\mathbb {C} _{1}}{\frac {[\mathrm {d} \mathbf {r} _{2},[\mathrm {d} \mathbf {r} _{1 },\mathbf {r} _{2}-\mathbf {r} _{1}]]}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3} }}.

Vaikka voima on aina sama eri , voimien momentti voi vaihdella. Esimerkiksi kun kaksi suorassa kulmassa ristikkäistä ääretöntä johtoa vuorovaikuttavat, vuorovaikutusvoima on nolla. Jos laskemme jokaiseen lankaan vaikuttavien voimien momentin Grassmannin kaavalla, mikään niistä ei ole nolla (vaikka ne ovat yhteensä nolla). Jos laskemme voimien momentin alkuperäisen Ampèren lain mukaan, jokainen niistä on nolla. $k$

Ampèren laki relativistisena vaikutuksena

Sähkövirta johtimessa on varausten liikettä suhteessa muihin varauksiin. Tämä liike johtaa SRT :ssä efekteihin , jotka klassisessa fysiikassa selitetään erillisellä fysikaalisella kokonaisuudella - magnetismilla. SRT:ssä nämä vaikutukset eivät vaadi magnetismin käyttöönottoa, ja ensimmäisessä approksimaatiossa riittää, kun huomioidaan Coulombin vuorovaikutukset. Ampèren lain kuvaamiseksi SRT:ssä metallijohdinta kuvataan suoralla viivalla, jolla on tietty lineaarinen positiivisten varausten tiheys, ja suoralla viivalla liikkuvien varausten kanssa. Varaus on muuttumaton , joten Lorentzin pituuden supistumisen vaikutus luo eron positiivisten ja negatiivisten varausten tiheyteen alun perin neutraalissa metallilangassa. Tästä syystä kahden virtaa kuljettavan johtimen välille syntyy houkutteleva tai hylkivä voima. [5] [6]

Muistiinpanot

↑ GOST 8.417-2002. Valtion järjestelmä mittausten yhtenäisyyden varmistamiseksi. Määrän yksiköt. (linkki ei saatavilla) . Haettu 7. marraskuuta 2012. Arkistoitu alkuperäisestä 10. marraskuuta 2012. (määrätön)
↑ Etienne Klein, Marc Lachieze-Rey. Yhtenäisyyden etsintä: Fysiikan seikkailu . - New York: Oxford University Press, 1999. - S. 43-44 . — ISBN 0-19-512085-X .
↑ Roger G Newton. Kellosta Crapshootiin: Fysiikan historia . - Harward University Pressin Belknap Press, 2007. - S. 137 . - ISBN 978-0-674-03487-7 .
↑ Maxwell, James Clerk. Tutkielma sähköstä ja magnetismista. - Oxford, 1904. - S. 173.
↑ Luento 1. Magnetostatiikka. Magneettikentän relativistinen luonne. // Pietarin ammattikorkeakoulu Pietari Suuren yliopisto (SPbPU) . Haettu 27. joulukuuta 2018. Arkistoitu alkuperäisestä 28. joulukuuta 2018. (määrätön)
↑ Saveljev I.V. Yleisen fysiikan kurssi: Pros. korvaus. 3 osassa T. 2. Sähkö ja magnetismi. Aallot. Optiikka. - 3. painos, Rev. - M.: Nauka. Ch. toim. Fys.-Math. lit., 1988. - 496 s. s. 120