Grafeenin nauharakenne

Grafeenin vyöhykerakenne laskettiin vuonna 1947 artikkelissa [1] . Hiiliatomin ulkokuorella on 4 elektronia, joista kolme muodostaa sp²- hybridisoituja sidoksia hilan viereisten atomien kanssa ja loput elektronit ovat tilassa 2p z (tämä tila on vastuussa tasojen välisten sidosten muodostumisesta grafiitissa ). Käsityksemme mukaan se on vastuussa grafeenin energiavyöhykkeiden muodostumisesta.

Johtopäätös

Voimakkaasti sitoutuneiden elektronien approksimaatiossa kiteen kaikkien elektronien kokonaisaaltofunktio voidaan kirjoittaa eri alihiloista tulevien elektronien aaltofunktioiden summana .

\psi =\phi _{1}+\lambda \phi _{2},\qquad (1.1)

jossa kerroin λ on yhtälöjärjestelmästä (1.6) määritetty parametri. Yhtälöön sisältyvät aaltofunktiot , jotka tarkoittavat kiteen tietyn alihilan aaltofunktioiden amplitudeja, kirjoitetaan yksittäisten elektronien aaltofunktioiden summana kiteen eri alihiloissa. $\phi _{1}$ $\phi _{2}$

\phi _{1}=\sum _{A}e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{A}}X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A}),\qquad (1.2)

\phi _{2}=\sum _{B}e^{2\pi i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{B}}X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{B}).\qquad (1.3)

Tässä ja ovat sädevektorit, jotka on suunnattu kidehilan solmuihin, ja ja ovat näiden solmujen lähellä olevien elektronien aaltofunktiot. Voimakkaasti sitoutuneiden elektronien approksimaatiossa voidaan jättää huomiotta viereisten atomien aaltofunktioiden päällekkäisyys. ${\mathbf {r}}_{A}$ ${\mathbf {r}}_{B}$ $X({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{A})$ $X({\mathbf {r}}-{\mathbf {r}}_{B})$

S_{12}=\int {X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A})X(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{B})d\mathbf {r} }=0\qquad (1,4)

Nyt kun aaltofunktiomme (1.1) korvataan Schrödingerin yhtälöllä, saadaan seuraava yhtälöjärjestelmä kantajien energiaspektrille ja tuntemattomalle parametrille λ $H\psi =E\psi$

H_{11}+\lambda H_{12}=ES+ES_{12}\lambda

H_{21}+\lambda H_{22}=\lambda ES+ES_{12}\qquad (1.5)

tai matriisimuodossa

\left({\begin{array}{cc}H_{11}&H_{12}\\H_{21}&H_{22}\\\end{array}}\right)\left({\begin {array}{cc}1\\\lambda \\\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}ES&ES_{12}\\ES_{12}&ES\\\end {array}}\right)\left({\begin{array}{cc}1\\\lambda \\\end{array}}\right)\qquad (1.6)

jossa käytetään seuraavaa integraalien merkintää

H_{jj}=\int \phi _{j}^{*}H\phi _{j}d\mathbf {r} \qquad (1.7)

H_{12}=H_{21}^{*}=\int \phi _{1}^{*}H\phi _{2}d\mathbf {r} \qquad (1.8)

S=\int \phi _{j}^{*}\phi _{j}d\mathbf {r} \qquad (1.9).

Mikä voidaan ratkaista E :lle .

E={\frac {1}{2S}}\left(H_{11}+H_{22}\pm {\sqrt {(H_{11}-H_{22})^{2}+4 |H_{12}|^{2}}}\oikea)\qquad (1,9)

Tässä voidaan tehdä joitain yksinkertaistuksia.

S=N,

H_{11}=H_{22},

H_{11}^{\,'}=H_{22}^{\,'}={\frac {1}{N}}H_{11}={\frac {1}{N}} H_{22},

H_{12}^{\,'}={\frac {1}{N}}H_{12},\qquad (1.10)

missä N on kiteen yksikkösolujen lukumäärä. Näillä yhtälöillä pääsemme yhtälöön

E=H_{11}^{\,'}\pm |H_{12}^{\,'}|\qquad (1.11)

Yksinkertaistamme myös tätä yhtälöä poistamalla ensimmäisestä termistä, joka vastaa tiettyä vakioenergiaa ja pientä energian muutosta verrattuna toiseen termiin, joka vastaa samasta alihilasta peräisin olevien naapuriatomien aaltofunktioiden limitysintegraalia. (A). Toisin sanoen keskusatomin aaltofunktion vuorovaikutus punaisella ympyrällä sijaitsevien atomien aaltofunktioiden kanssa (ks. kuva 1). Meitä kiinnostaa vain toiseen termiin liittyvän spektrin singulaarisuus, joka riippuu eri alihilojen (A) ja (B) (keskiatomi ja vihreän ympyrän atomit) lähimpien atomien limitysintegraaleista. Energiaspektri kirjoitetaan muotoon

E=\pm |H_{12}^{\,'}|\qquad (1.12)

Päällekkäisintegraali voidaan esittää muodossa

\gamma _{0}=-\int {X^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {\rho } )HX(\mathbf {r} )d\mathbf {r} },\ qquad(1.13)

missä on sädevektori, joka on suunnattu lähimpien naapureiden paikkoihin. Määrälle sen jälkeen kun aaltofunktiot (1.2) ja (1.3) on korvattu lausekkeella (1.8) saadaan $\mathbf {\rho }$ ${\displaystyle H_{12}^{\,'))$

H_{12}^{\,'}={\frac {1}{N}}\sum _{A,B}{\exp {[-2\pi i\mathbf {k} \cdot ( \mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{B})]}\int {X^{*}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{A})HX(\ mathbf {r} -\mathbf {r} _{B})d\mathbf {r} }}.\qquad (1.14)

Sieltä, muutaman yksinkertaistamisen jälkeen ja käyttämällä lähimpien naapureiden koordinaatteja (1.3), saamme

H_{12}^{\,'}=-\gamma _{0}\left(\exp {[-2i\pi k_{x}(a/{\sqrt {3)))]}+ 2\cos {\pi k_{y}a}\exp {[2i\pi k_{x}(a/{\sqrt {3)))]}\oikea).\qquad (1.15)

Tämän seurauksena saavutamme meitä kiinnostavan energiaspektrin

E=\pm {\sqrt {\gamma _{0}^{2}\left(1+4\cos ^{2}{\pi k_{y}a}+4\cos {\pi k_ {y}a}\cos {\pi k_{x}{\sqrt {3}}a}\right)))),\qquad (1.16)

jossa merkki "+" vastaa elektroneja ja "-" reikiä.

Katso myös

Muistiinpanot

↑ Wallace PR "The Band Theory of Graphite", Phys. Rev. 71 , 622 (1947) doi : 10.1103/PhysRev.71.622