Integraalinen eksponentiaalinen funktio

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 1. tammikuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 2 muokkausta .

Integraali eksponentiaalinen funktio on erikoisfunktio , joka on merkitty symbolilla . $\operaattorinimi {Ei}$

Reaalilukujoukon määritelmä

Seuraava määritelmä on yleisin (katso taulukko): $\operaattorinimi {Ei}$

$\operaattorinimi {Ei} (x)=\mathrm {vp} \int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm { d} t=\gamma +\operaattorinimi {ln} |x|+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {x^{n}}{n!\cdot n}},\;x\ hakemistossa \mathbb {R} ,\;(1)$

missä on Eulerin vakio . Integraalilla (1):n pääarvon merkityksessä on erilaisia sarjalaajennuksia positiiviselle ja negatiiviselle x:lle, mikä vaikeuttaa sen jatkamista analyyttisesti kompleksitasolle [eli (1):n yleistys kompleksisten arvojen tapauksessa x:stä]. Tästä syystä määritelmä (1) näyttää olevan virheellinen; sen sijaan on tarkoituksenmukaisempaa käyttää [ei yhteensopiva kohdan (1) kanssa] $\gamma$

Perusmääritelmä

Integraali eksponentiaalinen funktio - integraalin [1] määrittelemä erikoisfunktio

$\operaattorinimi {Ei} (z)=\int \limits _{-\infty }^{z}{\frac {e^{t}}{t}}\,\mathrm {d} t=\ gamma +\operaattorinimi {ln} (-z)+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {z^{n}}{n!\cdot n}},\;|\arg(-z )|<\pi ,\;(2)$

Kuten eksponentiaalisen funktion sarja, (2):n ääretön summa konvergoi missä tahansa kompleksitason pisteessä. Integraation tulos kohdassa (2) ei riipu vain : sta, vaan myös integrointipolusta, eli se määräytyy sen mukaan, kuinka monta kertaa integrointipolku kiertää pisteen , jonka läheisyydessä (2):n integrandi on suunnilleen yhtä suuri kuin . Siten funktio on moniarvoinen ja yksikköpiste on logaritminen haarapiste . Kuten logaritmisen funktion tapauksessa, funktion eri haarojen arvojen ero (kiinteälle arvolle ) on :n kerrannainen . $z$ $t = 0$ $1/t$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Ei} (z)}$ $z = 0$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {ln} z}$ $z$ $2\pi i$

Alla tarkastellaan vain päähaaraa (arvoa) , joka vastaa päähaaraa kohdassa (2). Kompleksisen tason tavanomainen leikkaus (negatiivista reaaliakselia pitkin) vastaa funktion positiivista reaaliakselia pitkin . Korjaamme myös argumentin päähaaran: ja lisäksi oletetaan, että se on yksiarvoinen analyyttinen funktio , joka on määritelty koko kompleksitasolla, lukuun ottamatta leikkausta positiivista reaaliakselia pitkin. $\operaattorinimi {Ei}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {ln} }$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {ln} z}$ ${\näyttötyyli \operaattorin nimi {Ei} (z)}$ $-\pi <\operaattorinimi {arg} z\leq \pi$ $\operaattorinimi {Ei}$

Esiintyminen integraalien laskennassa $\operaattorinimi {Ei}$

Mielivaltaisen rationaalisen funktion integraali kerrottuna eksponentilla ilmaistaan lopullisessa muodossa funktiona ja alkeisfunktiona. [yksi] $\operaattorinimi {Ei}$

Yksinkertaisena esimerkkinä integraalista, joka pelkistyy integraaliin eksponentiaaliseksi funktioksi, harkitse (olettaen, että ) $b>0$

$\int \limits _{0}^{+\infty }{\frac {e^{ibx}\mathrm {d} x}{x+iz))={\begin{cases}-e^{ bz}\operaattorinimi {Ei} (-bz),&\operaattorinimi {arg} z\not \in [\pi /2,\pi ],\\-e^{bz}\left[\operaattorinimi {Ei} ( -bz)-2\pi i\right],&\operaattorinimi {arg} z\in (\pi /2,\pi ).\end{cases}}\;(2)$

Kohdasta (2) seuraa, että todellisille arvoille ja $y$ $b$

$\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+y^{2))}=-{ \frac {1}{2}}\left[e^{|by|}\operaattorinnimi {Ei} (-|by|)+e^{-|by|}\operaattorin nimi {Ei} _{1}(| tekijä|)\right],\;(3)$

missä on ns. modifioitu integraali eksponentiaalinen funktio [1] : $\operaattorinimi {Ei} _{1}$

$\operaattorinnimi {Ei} _{1}(y)={\frac {1}{2}}\vasen[\operaattorinimi {Ei} (y+i0)+\operaattorinimi {Ei} (y-i0) \right]=\gamma +\operaattorinimi {ln} y+\sum \limits _{n\geq 1}{\frac {y^{n}}{n!\cdot n}},\;y>0,\ ;\operaattorinimi {Ei} _{1}(y)\in \mathbb {R} .\;(4)$

Itse asiassa (4) on sama kuin kohdassa (1) määritelty funktio, ja usein toimintoa merkitään symbolilla , mikä voi johtaa virheisiin. $\operaattorinimi {Ei} _{1}$ $\operaattorinimi {Ei}$

Tuloksen (3) saamiseksi käytettiin integraalin arvoa

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\sin bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2}}}={\frac { \pi }{2}}\operaattorinnimi {exp} [-bz\operaattorinnimi {sign} \Im z],\;b>0.$

Integraalia (3) voidaan pitää todellisten argumenttien ja todellisena funktiona . On loogista vaatia, että tällainen funktio ilmaistaan vain todellisina arvoina. Tämä vaatimus oikeuttaa lisäsymbolin käyttöönoton [kohdassa (2) jo määritellyn lisäksi ] . $b$ $y$ $\operaattorinimi {Ei}$ $\operaattorinimi {Ei} _{1}$

Tulos (3) voidaan helposti yleistää mielivaltaisiksi (paitsi puhtaasti imaginaarisiksi) parametrin kompleksiarvoiksi : $z$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\cos bx\,\mathrm {d} x}{x^{2}+z^{2))}=-{\frac {1}{2}}\left\{e^{bz}\operaattorinnimi {Ei} (-bz)+e^{-bz}\vasen[\operaattorinnimi {Ei} (bz)+\pi i\operaattorinnimi { merkki} \Im z\right]\right\},\;b>0,\;\Re z\neq 0.\;(5)$

Kaava (3) ja voidaan saada lisäämällä (5). $b>0$ $y>0$ $z=y\pm i0$

Integraali (5) löytyy Prudnikovin käsikirjan sivulta 320 [2] , mutta siinä annettu lauseke pätee vain todellisille arvoille ja edellyttäen, että funktiolle käytetään määritelmää (1). $z$ $\operaattorinimi {Ei}$

On huomattava, että on vaarallista luottaa kaupallisiin tietokonealgebrajärjestelmiin tällaisten integraalien laskemisessa (erityisesti monimutkaisten parametriarvojen kohdalla). Merkintöjen sekaannuksesta (symbolin käyttö merkin sijaan ) ei myöskään voi täysin luottaa hakuteoksiin. $\operaattorinimi {Ei}$ $\operaattorinimi {Ei} _{1}$

Katso myös

Muistiinpanot

↑ 1 2 3 Lebedev, N. N. Erikoistoiminnot ja niiden sovellukset . - 2. - 1963. (Venäjän kieli)
↑ Prudnikov A.P. , Brychkov Yu.A. , Marichev O.I. Integraalit ja sarjat. - Toim. 2. - M. : FIZMATLIT, 2003. - T. 1. - S. 320 561 622. — ISBN 5-9221-0323-7 .

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen