Vinogradov integraali

Vinogradov-integraali on muodon moninkertainen integraali

\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}|S|^{2k}\, d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},

missä

S=\sum _{1\leqslant x\leqslant P}e^{2\pi i(\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}+\ldots +\alpha _ {n}x^{n})},

joka on trigonometrisen summan moduulin tehon 2k keskiarvo . Vinogradovin lause tämän integraalin arvosta, keskiarvolause, on Weyl-summien arvioiden taustalla . Integraalia käytetään analyyttisen lukuteorian ongelmien ratkaisemisessa [1] .

Vinogradovin integraalin arvo vastaa seuraavan yhtälöjärjestelmän ratkaisujen määrää:

{\begin{cases}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k},\\x_{1}^{2}+\ldots +x_ {k}^{2}=y_{1}^{2}+\lpisteet +y_{k}^{2},\\\cpisteet \\x_{1}^{n}+\lpisteet +x_{k }^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

jossa tuntemattomat voivat ottaa kokonaislukuarvot välillä 1 - [1] [2] . ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k},y_{1},\ldots ,y_{k))$ $P,P\geqslant 1$

Muistiinpanot

↑ 1 2 V. N. Chubarikov. Asymptoottiset kaavat I. M. Vinogradovin integraalille ja sen yleistyksille // Trudy Mat. Inst. Steklov. : Numeroteoria, matemaattinen analyysi ja niiden sovellukset. Artikkelien kokoelma. Omistettu I. M. Vinogradoville, Tiedeakatemian jäsenelle hänen 90-vuotissyntymäpäivänsä johdosta: [ eng. ] . - 1981. - T. 157. - S. 214-232.
↑ Gennadi I. Arhipov, Vladimir N. Chubarikov, Anatoli A. Karatsuba. Trigonometriset summat lukuteoriassa ja -analyysissä . – Walter de Gruyter, 1.1.2004. - s. 80. - 565 s. — ISBN 9783110197983 .

Kirjallisuus

Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Uusi arvio I. M. Vinogradovin integraalille // Izv. Neuvostoliiton tiedeakatemia. Ser. matto. - 1978. - nro 42. - S. 751-762.
Vinogradovin integraali // Matemaattinen tietosanakirja. Vol. 1 / Ch. toim. I. M. Vinogradov. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja. – 1977.
Vinogradov I. M. Trigonometristen summien menetelmä lukuteoriassa. - M.: Nauka, 1971.

Sanakirjat ja tietosanakirjat	Iso venäläinen