Interpolaatiosarja

Interpolaatiosarja tuli matematiikkaan pääasiassa Newtonin ansiosta . Ensimmäiset esimerkit näistä ovat Newtonin ääretön interpolaatiosarja ja Taylor-sarja . XVIII vuosisadalla. Euler , Lagrange ja Laplace käyttivät laajasti äärettömiä interpolaatiosarjoja matemaattisen analyysin työkaluna 1800-luvulla. - Gauss , Abel ja Cauchy . XIX vuosisadan lopussa. interpolointiongelmien yleistäminen oli yksi momenttiongelman lähteistä Tšebyševin , Stieltjesin ja Markovin teoksissa .

Interpolointisarjan tai interpolointiprosessin konstruointi määräytyy lineaaristen jatkuvien funktionaalisten funktioiden sarjan avulla lineaarisessa topologisessa avaruudessa. Lisäksi on olemassa myös sellainen toimintosarja , joka ${\Phi _{i}}~(i=0,1,2,\ldots )$ $\textstyle {\varphi _{j}}~(j=0,1,2,\ldots )$

\Phi _{i}[\varphi _{j}]=\delta _{ij},

missä on Kronecker-symboli ( , jos ; muuten ). Sekvenssiä kutsutaan interpolointiprosessin peruspolynomien perustaksi. Funktion interpolaatiosarja on muodollinen lauseke ${\displaystyle \textstyle \delta _{ij))$ $\textstyle \delta _{ij}=1$ $\textstyle i=j$ $\textstyle \delta _{ij}=0$ ${\displaystyle \textstyle {\varphi _{j}(x)))$ $\textstyle f(x)$

\sum _{i=k}^{\infty }\Phi _{k}[f]\varphi _{k}(x).

Jos tämä sarja konvergoi, niin sen summa täyttää yhtäläisyydet $\textstyle S(x)$

\textstyle \Phi _{k}[S(x)]=\Phi _{k}[f(x)]

riippumatta siitä, onko alkuperäisen funktion summa yhtä suuri vai ei. Näiden yhtälöiden kokonaisuus ilmaisee yleistyksen tavallisesta ongelmasta interpoloida funktio sen arvoista pistejonossa. $k=0,1,2,\ldots$ $\textstyle S(x)$ $\textstyle f(x)$

Kirjallisuus

Evgrafov M. A. Abel-Goncharov interpolointiongelma. Moskova: Gostekhizdat, 1954.
Akhiezer N. I. Klassinen hetkien ongelma. Moskova: Fizmatlit, 1961.
Ibragimov II Funktioiden interpolointimenetelmät ja jotkin niiden sovellukset. Moskova: Nauka, 1971.
Kerin M. G., Nudelman A. A. Markovin hetkiongelma ja äärimmäiset ongelmat. Moskova: Nauka, 1973.
Golovinsky IA Interpolaatiosarjan historiasta. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. Moskova: Nauka, voi. XXII, 1977, s. 65-81.
Golovinsky IA Laplacen interpolaatiosarja. // Historiallinen ja matemaattinen tutkimus. Moskova: Nauka, voi. XXIV, 1979, s. 104-120.