De Broglie-Bohmin teoria

De Broglie–Bohmin teoria , joka tunnetaan myös pilottiaaltoteoriana , Bohmin mekaniikka , Bohmin tulkinta ja kausaalitulkinta , on kvanttiteorian tulkinta . Kaikkien mahdollisten konfiguraatioiden avaruuden aaltofunktion lisäksi se olettaa todellisen konfiguraation, joka on olemassa ilman, että se on edes mitattavissa . Konfiguraation kehittyminen ajan kuluessa (eli kaikkien hiukkasten sijainnit tai kaikkien kenttien konfiguraatio) määräytyy aaltofunktion avulla masteryhtälön avulla . Aaltofunktion kehitys ajassa saadaan Schrödingerin yhtälöstä . Teoria on nimetty Louis de Broglien (1892–1987) ja David Bohmin (1917–1992) mukaan.

Teoria on deterministinen [1] ja selvästi epäpaikallinen : minkä tahansa hiukkasen nopeus riippuu hallitsevan yhtälön arvosta, joka riippuu sen aaltofunktion antamasta järjestelmän konfiguraatiosta; jälkimmäinen riippuu järjestelmän reunaehdoista, joka periaatteessa voisi olla koko universumi .

Teoriasta tulee mittausten formalismi, joka on analoginen klassisen mekaniikan termodynamiikan kanssa, mikä antaa Kööpenhaminan tulkintaan yleisesti yhdistetyn standardin kvanttiformalismin . Teorian selkeä epäpaikallisuus eliminoi "mittausongelman", joka yleensä liittyy kvanttimekaniikan tulkinnan aiheeseen Kööpenhaminan tulkinnassa. Bornin sääntö de Broglie-Bohmin teoriassa ei ole peruslaki. Olisi oikeampaa sanoa, että tässä teoriassa todennäköisyystiheyden ja aaltofunktion välinen suhde on hypoteesin status, jota kutsutaan kvanttitasapainohypoteesiksi ja joka täydentää aaltofunktiota sääteleviä peruslakeja.

Teorian kehitti de Broglie 1920-luvulla, mutta vuonna 1927 hän joutui luopumaan siitä hallitsevan Kööpenhaminan tulkinnan hyväksi. David Bohm, joka oli tyytymätön vallitsevaan ortodoksiseen teoriaan, löysi uudelleen de Broglien pilottiaaltoteorian vuonna 1952 . Bohmin ehdotuksia ei hyväksytty silloin laajalti, osittain siksi, että Bohm oli nuoruudessaan kommunisti [2] . Valtavirran teoreetikot ovat pitäneet de Broglie-Bohmin teoriaa mahdottomana hyväksyä, suurelta osin sen pelkän epäpaikallisuuden vuoksi. Bellin lause (1964) sai inspiraationsa Bellin löydöstä David Bohmin työstä ja sitä seuranneesta keinosta eliminoida teorian näennäinen epäpaikallisuus. 1990-luvulta lähtien on herännyt uudelleen kiinnostus kehittää de Broglie-Bohmin teorian laajennuksia, jotta se voitaisiin sovittaa yhteen erityissuhteellisuus- ja kvanttikenttäteorian kanssa muiden ominaisuuksien, kuten spinin tai kaarevan spatiaalisen geometrian, kanssa [3] .

" Stanford Philosophical Encyclopedia " -julkaisussa kvanttidekoherenssia käsittelevässä artikkelissa ( Guido Bacciagaluppi, 2012 ) " lähestymistapoja kvanttimekaniikkaan " on koottu viiteen ryhmään, joista yksi on "pilottiaaltoteoria" (loput ovat Kööpenhaminan tulkintaa). , objektiivisen romahduksen teoria , monien maailmojen tulkinta ja modaalinen tulkinta).

Teoriasta on olemassa useita vastaavia matemaattisia muotoiluja ja useita sen nimiä tunnetaan . De Broglie - aallolla on makroskooppinen vastine , joka tunnetaan nimellä Faradayn aalto . [neljä]

Yleiskatsaus

De Broglie-Bohmin teoria perustuu seuraaviin postulaatteihin:

On olemassa koordinaattien kuvaama maailmankaikkeuden konfiguraatio , joka on osa konfiguraatioavaruutta . Konfigurointitilat vaihtelevat pilottiaaltoteorian eri versioissa. Tämä voi olla esimerkiksi hiukkasten koordinaattiavaruus tai kenttäteorian tapauksessa kenttäkonfiguraatioiden avaruus . Konfiguraatio kehittyy (spin 0) hallitsevan yhtälön mukaisesti $q$ $q^k$ $K$ $\mathbf{Q}_k$ $N$ $\phi(x)$

m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operaattorinimi {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operaattorinimi {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}\mathbf {j} _{ k}}{\psi ^{*}\psi }}=\mathrm {Re} \left({\frac {\mathbf {\hat {P}} _{k}\Psi }{\Psi }}\right )

missä on todennäköisyysvirta eli todennäköisyysvuo ja liikemäärän operaattori . Tässä on kvanttiteoriasta tunnettu standardi kompleksiarvoinen aaltofunktio, joka kehittyy Schrödingerin yhtälön mukaan $\mathbf {j}$ $\mathbf {\hat {P}}$ $\psi(q,t)$

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t)=-\sum_{i=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2\ psi(q,t) + V(q)\psi(q,t)

Nämä postulaatit täydentävät teorian muotoilun mille tahansa kvanttiteorialle tyypin Hamiltonin kanssa . $H=\sum \frac{1}{2m_i}\hat{p}_i^2 + V(\hat{q})$

Kokoonpano on jaettu ajankohdan mukaan, joten tämä pätee kaikkiin aikoihin. Tätä tilaa kutsutaan kvanttitasapainoksi. Kvanttitasapainossa tämä teoria on yhtäpitävä standardin kvanttimekaniikan tulosten kanssa. $|\psi(q,t)|^2$ $t$

Vaikka tämä viimeinen suhde esitetään usein teorian aksioomana, Bohmin alkuperäisessä 1952 artikkelissa se esitettiin tilastollis-mekaanisista argumenteista johdettuna. Tätä väitettä vahvistaa Bohmin vuoden 1953 työ ja vahvistaa Bohmin ja Vigierin vuoden 1954 työ, jossa he esittelivät stokastiset nestevärähtelyt , jotka ohjaavat asymptoottista relaksaatioprosessia kvanttiepätasapainotilasta kvanttitasapainotilaan (ρ → |ψ| 2 ). ). [5]

Kaksoisrakokoe

Kaksoisrakokoe havainnollistaa aalto-hiukkasten kaksinaisuutta . Siinä hiukkassäde (esimerkiksi elektronit) kulkee esteen läpi, jossa on kaksi rakoa. Jos ilmaisimen näyttö sijoitetaan esteen taakse, havaittujen hiukkasten kuviossa näkyy häiriöhajoja, jotka ovat ominaisia kahdesta lähteestä (kahdesta rakosta) näytölle saapuville aalloille. Häiriökuvio koostuu kuitenkin yksittäisistä pisteistä, jotka vastaavat näyttöön osuvia hiukkasia. Järjestelmä näyttää osoittavan sekä aaltojen (häiriöreunat) että hiukkasten (pisteet näytöllä) käyttäytymistä.

Jos muutamme tätä koetta niin, että yksi rako on kiinni, mitään interferenssikuviota ei havaita. Siten molempien rakojen kunto vaikuttaa lopputulokseen. Voimme myös sijoittaa mini-invasiivisen ilmaisimen yhden raon lähelle selvittääksemme, minkä raon läpi hiukkanen on kulkenut. Kun teemme tämän, häiriökuvio katoaa.

Kööpenhaminan tulkinta sanoo, että hiukkaset eivät lokalisoidu avaruuteen ennen kuin ne havaitaan, joten jos rakoissa ei ole ilmaisinta, ei ole tietoa siitä, minkä rakojen läpi hiukkanen on kulkenut. Jos yksi raoista on varustettu ilmaisimella, aaltofunktio muuttuu välittömästi ilmaisun seurauksena.

De Broglie-Bohmin teoriassa aaltofunktio on määritelty molemmille rakoille, mutta jokaisella hiukkasella on hyvin määritelty liikerata, joka kulkee täsmälleen yhden raon läpi. Hiukkasen lopullinen sijainti ilmaisinnäytöllä ja rako, jonka läpi se kulkee, määräytyy hiukkasen alkuasennon mukaan. Tällainen aloitusasento on kokeen tekijän tuntematon tai hallitsematon, joten havaitsemismallissa näkyy sattumanvaraisuutta. Bohmin vuoden 1952 artikkelissa hän käytti aaltofunktiota kvanttipotentiaalin rakentamiseen , joka, kun se korvataan Newtonin yhtälöillä, antaa kahden raon läpi kulkevien hiukkasten reitit. Tämän seurauksena aaltofunktio häiritsee itseään ja ohjaa hiukkaset kvanttipotentiaalin läpi siten, että hiukkaset välttävät alueita, joilla häiriö on tuhoisaa ja houkuttelevat alueita, joissa häiriö on rakentavaa, mikä johtaa häiriökuvioon ilmaisimen näyttö.

Teoria

Ontologia

De Broglie-Bohmin teorian ontologia koostuu universumin konfiguraatiosta ja pilottiaalto . Konfigurointiavaruus voidaan valita eri tavoin, kuten klassisessa mekaniikassa ja standardissa kvanttimekaniikassa. $q(t)\in Q$ $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$ $K$

Näin ollen pilottiaaltoteorian ontologia sisältää trajektoreina , jotka tunnemme klassisesta mekaniikasta, kvanttiteorian aaltofunktiona. Jokaisella ajanhetkellä ei siis ole vain aaltofunktio, vaan myös hyvin määritelty koko universumin konfiguraatio (eli järjestelmä, joka määräytyy Schrödingerin yhtälön ratkaisemisessa käytetyistä reunaehdoista). Kokemuksemme vastaavuus tehdään tunnistamalla aivomme konfiguraatio johonkin osaan koko maailmankaikkeuden konfiguraatiosta , kuten klassisessa mekaniikassa. $q(t)\in Q$ $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$ $q(t)\in Q$

Vaikka klassisen mekaniikan ontologia on osa de Broglie-Bohmin teorian ontologiaa, dynamiikka on hyvin erilainen. Klassisessa mekaniikassa hiukkasen kiihtyvyys johtuu suoraan fysikaalisessa kolmiulotteisessa avaruudessa olevista voimista. De Broglie-Bohmin teoriassa hiukkasten nopeudet saadaan aaltofunktiolla, joka on olemassa 3N-ulotteisessa konfiguraatioavaruudessa, jossa N vastaa hiukkasten määrää systeemissä [7] . Bohm ehdotti, että jokaisella hiukkasella on "monimutkainen ja hieno sisäinen rakenne", joka tarjoaa kyvyn vastata informaatioon, jonka aaltofunktio tarjoaa kvanttipotentiaalin kautta. [8] Myös, toisin kuin klassinen mekaniikka, fysikaaliset ominaisuudet (esim. massa, varaus) jakautuvat de Broglie-Bohmin teorian aaltofunktion mukaan, eivätkä ne ole paikallistettuja hiukkasen sijaintiin. [9] [10]

Aaltofunktio, ei hiukkaset, määrää järjestelmän dynaamisen kehityksen: hiukkaset eivät vaikuta aaltofunktioon. Bohmin ja Healyn sanamuodon mukaan "Schrödingerin yhtälöllä kvanttikentällä ei ole lähteitä eikä muuta tapaa, jolla hiukkasten tila voi suoraan vaikuttaa kenttiin [...] Kvanttiteoria sallii kvanttikentän olevan täysin riippumaton hiukkasista” [11] P Holland pitää hiukkasten ja aaltofunktion välisen vuorovaikutuksen puuttumista "yhdeksi tämän teorian osoittamista monista ei-klassisista ominaisuuksista". [12] Myöhemmin Holland kutsui palautteen puutetta ilmeiseksi teorian kuvauksen epätäydellisyyden vuoksi. [13]

Alla annamme perusteorian yksittäiselle hiukkaselle, joka liikkuu sisään ja laajenna se sitten tapaukseen , jossa hiukkaset liikkuvat kolmessa ulottuvuudessa. Ensimmäisessä tapauksessa konfiguraatio ja todelliset tilat ovat samat, ja toisessa todellinen tila on edelleen , mutta määritysavaruudesta tulee . Kun hiukkasten paikat ovat todellisessa avaruudessa, nopeuskentät ja aaltofunktio määritellään konfiguraatioavaruudessa, mikä osoittaa kuinka hiukkaset sotkeutuvat toisiinsa tässä teoriassa. $\mathbb {R} ^{3}$ $N$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\mathbb {R}}^{{3N}}$

Tämän teorian laajennukset sisältävät spin ja monimutkaisemmat konfiguraatiotilat.

Käytämme muunnelmia hiukkasten koordinaateille, samalla kun niitä edustaa konfiguraatioavaruudessa annettu kompleksiarvoinen aaltofunktio. ${\mathbf {Q}}$ $\psi$

Pääyhtälö

Yhdelle spinless-hiukkaselle, joka liikkuu sisään , nopeus annetaan muodossa $\mathbb {R} ^{3}$

{\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operaattorinimi {Im} \left({\frac {\nabla \psi } {\psi }}\oikea)(\mathbf {Q} ,t)

Monille hiukkasille merkitsemme niitä th -hiukkasina, ja niiden nopeudet annetaan muodossa $\mathbf{Q}_k$ $k$

{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operaattorinimi {Im} \left({\ frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{ N},t)

Tärkeintä tässä on, että tämä nopeuskenttä riippuu kaikkien maailmankaikkeuden hiukkasten todellisesta sijainnista. Kuten alla selitetään, useimmissa kokeellisissa tilanteissa kaikkien näiden hiukkasten vaikutukset voidaan kapseloida tehokkaaseen aaltofunktioon universumin alajärjestelmälle. $N$

Schrödingerin yhtälö

Yksipartikkelinen Schrödinger-yhtälö määrittää kompleksiarvoisen aaltofunktion aikakehityksen . Yhtälö on kvantisoitu versio klassisen järjestelmän kokonaisenergiasta, joka kehittyy todellisen potentiaalifunktion vaikutuksesta, joka on annettu : $\mathbb {R} ^{3}$ $V$ $\mathbb {R} ^{3}$

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi

Monille hiukkasille yhtälö on sama, paitsi että ja on annettu konfiguraatioavaruudessa . $\psi$ $V$ ${\mathbb {R}}^{{3N}}$

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2)){2m_{k }}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi

Tämä on sama aaltofunktio tavallisesta kvanttimekaniikasta.

Suhde Born-sääntöön

Bohm alkuperäisissä kirjoissaan [Bohm 1952] pohtii, kuinka tavallisen kvanttimekaniikan mittaustulokset seuraavat de Broglie-Bohmin teoriasta. Perusajatuksena on, että tämä tehdään sillä ehdolla, että hiukkasten paikat täyttävät :n antaman tilastollisen jakauman . Tällainen jakauma on taatusti totta kaikkina aikoina masteryhtälön ansiosta, jos alkuperäinen hiukkasjakauma täyttää . $|\psi |^{2}$ $|\psi |^{2}$

Tässä kokeessa voimme olettaa, että väite on totta, ja kokeellinen vahvistus vahvistaa tämän. Dur et al. kiistää tämän: [14] tällainen jakauma on ominaista osajärjestelmille. He väittävät , että sen ekvivarianssin vuoksi järjestelmän dynaamisen evoluution vaikutuksesta on sopiva mitta yleensä hiukkasten koordinaattien alkuolosuhteille. Sitten he osoittavat, että suurin osa mahdollisista alkukonfiguraatioista noudattaa tilastollisesti Bornin sääntöä (eli ) mittaustulosten osalta. Tämän seurauksena de Broglie-Bohmin dynamiikan hallinnassa olevassa universumissa Bornin sääntö yleensä täyttyy. $|\psi |^{2}$ $|\psi |^{2}$

Tilanne on siis samanlainen kuin klassisessa tilastollisessa fysiikassa. Alkutila, jossa on alhainen entropia, kehittyy ylivoimaisen suurella todennäköisyydellä korkeamman entropian tilaan: tyypillinen käyttäytyminen, joka on yhdenmukainen termodynamiikan toisen lain kanssa. Tietenkin on epätavallisia alkuolosuhteita, jotka voivat johtaa toisen lain rikkomiseen. Kuitenkin, koska ei ole yksityiskohtaista näyttöä, joka tukisi yhden näistä harvinaisista alkuolosuhteista todellista esiintymistä, olisi kohtuutonta odottaa mitään muuta kuin todellisuudessa havaittua tasaista entropian kasvua. Samoin de Broglie-Bohmin teoriassa on poikkeavia alkuolosuhteita, jotka johtavat Bornin säännön rikkomiseen (eli toisin kuin standardin kvanttiteorian ennusteet). Mutta yleensä lause osoittaa, että jos ei ole erityisiä syitä uskoa, että jokin näistä erityisistä alkuehdoista toteutuu, on odotettava Bornin säännön täyttymistä.

Bornin sääntö de Broglie–Bohm -teoriassa on lause, ei lisäpostulaatti (kuten tavallisessa kvanttiteoriassa).

Voidaan osoittaa, että niiden hiukkasten jakauma, jotka eivät ole jakautuneet Bornin säännön mukaisesti (eli jakauma "pois kvanttitasapainosta") ja kehittyvät de Broglie-Bohm -dynamiikassa suurimmassa osassa tapauksia, kehittyvät tilaan. jaettu nimellä . [15] Video elektronitiheydestä 2D-laatikossa tässä prosessissa on saatavilla täältä . $|\psi |^{2}$

Ehdollinen osajärjestelmän aaltofunktio

De Broglie-Bohmin teorian muotoilussa on vain koko maailmankaikkeuden aaltofunktio (joka kehittyy aina Schrödingerin yhtälön mukaisesti). "Universumi" on järjestelmä, jota rajoittavat samat reunaehdot, joita käytetään ratkaisemaan Schrödingerin yhtälö. Kuitenkin, kun teoria on muotoiltu, on tarkoituksenmukaista ottaa käyttöön aaltofunktion käsite myös universumin osajärjestelmille. Kirjoitetaan universumin aaltofunktio muotoon , jossa tarkoittaa universumin johonkin osajärjestelmään (I) liittyvien muuttujien konfiguraatiota ja loput konfiguraatiomuuttujat. Merkitään vastaavasti osajärjestelmän (I) ja muun maailmankaikkeuden todellista konfiguraatiota. Yksinkertaisuuden vuoksi tarkastelemme tässä vain spinless-hiukkasten tapausta. Osajärjestelmän (I) ehdollinen aaltofunktio määritetään kaavalla: $\psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })$ $q^{\mathrm {I} }$ $q^{\mathrm {II} }$ $Q^{\mathrm {I} }(t)$ $Q^{\mathrm {II} }(t)$

\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })=\psi (t,q^{\mathrm {I} },Q^{\mathrm {II} }(t)).

Tämä seuraa välittömästi siitä tosiasiasta, että se täyttää hallitsevan yhtälön. Hän on myös tyytyväinen konfiguraatioon, joka on identtinen teorian muotoilussa esitetyn kanssa, mutta universaalin aaltofunktion korvaamiseen ehdollisella aaltofunktiolla . Lisäksi se tosiasia, että se on satunnainen moduulin neliön antamalla todennäköisyystiheydellä , tarkoittaa, että annetun annetun ehdollisen todennäköisyystiheyden antaa (normalisoidun) ehdollisen aaltofunktion vektorin moduulin neliö (in Durasin ym. terminologia [16] tätä tosiasiaa kutsutaan perustavanlaatuiseksi ehdollisen todennäköisyyden kaavaksi ). $Q(t)=(Q^{\mathrm {I} }(t),Q^{\mathrm {II} }(t))$ $Q^{\mathrm {I} }(t)$ $\psi$ $\psi ^{\mathrm {I} }$ $Q(t)$ $\psi (t,\cdot )$ $Q^{\mathrm {I} }(t)$ $Q^{\mathrm {II} }(t)$ $\psi ^{\mathrm {I} }(t,\cdot )$

Toisin kuin universaali aaltofunktio, alijärjestelmän ehdollinen aaltofunktio ei aina (mutta usein) kehity Schrödingerin yhtälön mukaisesti. Esimerkiksi, jos yleisaaltofunktio laajennetaan tuotteeksi seuraavasti:

\psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })

silloin osajärjestelmän (I) ehdollinen aaltofunktio irrelevanttiin skalaaritekijään asti on (tätä standardi kvanttiteoria pitää osajärjestelmän (I) aaltofunktiona). Jos lisäksi Hamiltonin ei sisällä vuorovaikutusta osajärjestelmien (I) ja (II) välillä, niin se täyttää Schrödingerin yhtälön. Yleisemmin oletetaan, että universaali aaltofunktio kirjoitetaan seuraavasti: $\psi ^{\mathrm {I} }$ $\psi ^{\mathrm {I} }$ $\psi$

\psi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })+\phi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} } ),

missä ratkaisee Schrödingerin yhtälön ja kaikille ja . Lisäksi osajärjestelmän (I) ehdollinen aaltofunktio irrelevanttiin skalaaritekijään asti on yhtä suuri kuin ja, jos Hamiltonin ei sisällä vuorovaikutusta osajärjestelmien (I) ja (II) välillä , täyttää Schrödingerin yhtälön. $\phi$ $\phi (t,q^{\mathrm {I} },Q^{\mathrm {II} }(t))=0$ $t$ $q^{\mathrm {I} }$ $\psi ^{\mathrm {I} }$ $\psi ^{\mathrm {I} }$

Se, että alijärjestelmän ehdollinen aaltofunktio ei aina kehity Schrödingerin yhtälön mukaan, johtuu siitä, että standardi kvanttiteoriassa tavallinen pelkistyssääntö syntyy Bohmin formalismista, kun tarkastellaan osajärjestelmien ehdollisia aaltofunktioita.

Muistiinpanot

↑ Bohm, David (1952).
↑ F. David Peat, Infinite Potential: The Life and Times of David Bohm (1997), s. 133
↑ David Bohm ja Basil J. Hiley, Jakamaton maailmankaikkeus – ontologinen kvanttiteorian tulkinta, joka ilmestyi Bohmin kuoleman jälkeen, vuonna 1993; arvosteltu arkistoitu 5. maaliskuuta 2016 the Wayback Machine , kirjoittanut Sheldon Goldstein julkaisussa Physics Today (1994)
↑ John W. W. Bush . "Quantum mechanics writ large" Arkistoitu 15. joulukuuta 2017 Wayback Machinessa .
↑ D. Bohmin julkaisut vuosina 1952 ja 1953 sekä J.-P. Vigier vuonna 1954, kuten Antony Valentini; Hans Westman (8. tammikuuta 2005).
↑ "Yksittäisten fotonien keskimääräisten liikeratojen tarkkailu kaksirakoisessa interferometrissä" . Käyttöpäivä: 1. joulukuuta 2015. Arkistoitu alkuperäisestä 24. syyskuuta 2015. (määrätön)
↑ David Bohm (1957).
↑ D. Bohm ja B. Hiley: Jakamaton universumi: Kvanttiteorian ontologinen tulkinta , s. 37.
↑ HR Brown, C. Dewdney ja G. Horton: "Bohm-hiukkaset ja niiden havaitseminen neutroniinterferometrian valossa", Foundations of Physics , 1995, Volume 25, Number 2, pp. 329-347.
↑ J. Anandan, "The Quantum Measurement Problem and the Possible Role of the Gravitational Field", Funds of Physics , maaliskuu 1999, osa 29, Issue 3, pp. 333-348.
↑ D. Bohm ja B. Hiley: Jakamaton universumi: Kvanttiteorian ontologinen tulkinta , s. 24 Arkistoitu 5. marraskuuta 2012 Wayback Machinessa
↑ Peter R. Holland: The Quantum Theory of Motion: An Account of the De Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics , Cambridge University Press, Cambridge (ensimmäinen julkaisu 25. kesäkuuta 1993), ISBN 0-521-35404-8 kovakantinen, ISBN 0-521-48543-6 Pehmeäkantinen, siirretty digitaaliseen painamiseen 2004, luku I. jakso (7) "Hartikkelilla ei ole vastavuoroista vaikutusta aaltoon", s. 26 Arkistoitu 24. joulukuuta 2016 Wayback Machinessa
↑ P. Holland: "Hamiltonin aallon ja hiukkasten teoria kvanttimekaniikassa II: Hamilton-Jacobi-teoria ja hiukkasten vastareaktio", Nuovo Cimento B 116, 2001, pp. 1143–1172, koko teksti esipainettu s. 31 Arkistoitu 10. marraskuuta 2011 Wayback Machinessa )
↑ Dürr, D., Goldstein, S. ja Zanghì, N., "Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty" , Journal of Statistical Physics 67: 843–907, 1992.
↑ Towler, M.D.; Russell, NJ; Valentini A., s., "Aikataulut dynaamiseen rentoutumiseen Bornin sääntöön" quant-ph/11031589
↑ "Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty" , D. Dürr, S. Goldstein ja N. Zanghì, Journal of Statistical Physics 67, 843–907 (1992).