Weirin kanoninen muoto

Kanoninen padon muoto ( Padon muoto , Padon matriisi , modifioitu Jordanin muoto , uudelleenjärjestetty Jordanin muoto , toinen Jordanin muoto , H-muoto [1] ) on tietyt ehdot täyttävä neliömatriisi , jonka esitteli tšekkiläinen matemaatikko Eduard Weyr ( tšekki Eduard Weyr ) Weyr ) vuonna 1885 [2] [3] [4] .

Lomaketta ei käytetty laajalti matemaattisessa tutkimuksessa, koska sen sijaan sitä käytettiin tarkoituksenmukaisesti, mutta siitä poikkeavasti, Jordanian kanoninen muoto [4] , lomakkeen vähäisen suosion vuoksi se löydettiin uudelleen useita kertoja [5] . Muoto sai mainetta 1990-luvun lopulla ja 2000-luvun alussa, koska sitä käytettiin bioinformatiikassa fylogeneettisten invarianttien osalta .

Määritelmät

Weirin perusmatriisi

Elementaarinen Weir-matriisi, jolla on ominaisarvo , on seuraavan muotoinen matriisi : $\lambda$ $n\ kertaa n$ $W$

Olkoon osio annettu

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n

luvut , missä sellainen, että milloin sitä pidetään lohkomatriisina , missä -: s lohko on matriisi , ja seuraavat kolme ehtoa täyttyvät:

n

n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant \cdots \geqslant n_{r}\geqslant 1

W

r\times r

(W_{ij})

(i, j)

W_{ij}

{\displaystyle n_{i}\times n_{j))

Päädiagonaalin lohkot ovat - skalaarimatriiseja , joissa . ${\displaystyle W_{ii))$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i))$ $\lambda I$ $i=1,\ldots ,r$
Ensimmäisen superdiagonaalin lohkot ovat täyden sarakkeen arvoisia matriiseja , joilla on riviportainen muoto (eli identiteettimatriisi, jota seuraa nolla riviä), jossa . $W_{i,i+1}$ $n_{i}\times n_{i+1}$ $i=1,\ldots ,r-1$
Kaikki muut matriisin lohkot ovat nollia (eli missä ). $W$ $W_{ij}=0$ $j\neq i,i+1$

Tässä tapauksessa sillä sanotaan olevan Weir-rakenne . $W$ $(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})$

Esimerkki Weir-matriisista:

W={}

{}={\begin{bmatrix}W_{11}&W_{12}&&\\&W_{22}&W_{23}&\\&&W_{33}&W_{34}\\&&&W_{44}\\ \end{bmatrix}}.

Tässä matriisissa ja . Siten matriisilla on Weir-rakenne . Myös $n = 10$ $n_{1}=4,\ n_{2}=2,\ n_{3}=2,\ n_{4}=1$ $W$ ${\näyttötyyli (4,2,2,1)}$

W_{11}={\begin{bmatrix}\lambda &0&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix))=\lambda I_{4}, \quad W_{22}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{33}={\begin{bmatrix} \lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{44}={\begin{bmatrix}\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda minä_{1}

W_{12}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix)),\quad W_{23}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \\\end{bmatrix}},\quad W_{34}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}.

Yleinen Weir-matriisi

Olkoon neliömatriisi ja matriisin eri ominaisarvot . Sen sanotaan olevan Weir-muoto (tai Weir-matriisi), jos sillä on seuraava muoto: $W$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k))$ $W$ $W$ $W$

W={\begin{bmatrix}W_{1}&&&\\&W_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&W_{k}\\\end{bmatrix)),

missä on elementaarinen Weirin muoto ominaisarvolla , missä . $W_i$ $\lambda _{i}$ $i=1,\ldots ,k$

Weyr-lomakkeen sovellukset

Joitakin merkittäviä Weir-lomakkeen [4] sovelluksia ovat:

Weir-muotoa voidaan käyttää yksinkertaistamaan Gerstenhaberin lauseen todistusta, jonka mukaan kahden työmatkamatriisin generoima osabalgebra on korkeintaan dimensio . $n\ kertaa n$ $n$
Äärillisten matriisien joukon sanotaan olevan likimäärin yhdessä diagonalisoitavissa, jos ne voidaan häiritä yhdessä diagonalisoitaviksi matriiseiksi. Weirin muotoa käytetään eri matriisiluokkien likimääräisen yhteisdiagonalisoinnin osoittamiseen. Likimääräisen nivelen diagonalisoitavuuden ominaisuutta käytetään bioinformatiikan fylogeneettisten invarianttien tutkimuksessa .
Weirin muotoa voidaan käyttää yksinkertaistamaan todisteita kaikkien mahdollisten k -monojen tietyn sarjan redusoitumattomuudesta työmatkamatriiseista.

Muistiinpanot

↑ Moderni terminologia perustettiin vuonna 1999 julkaisemisen jälkeen: Shapiro, H. The Weyr character (englanti) // The American Mathematical Monthly : Journal. - 1999. - Voi. 106 . - s. 919-929 .
↑ Edward Weyr. Répartition des matrices en espèces et formation de toutes les espèces (ranska) // Comptes Rendus, Paris: aikakauslehti. - 1985. - Voi. 100 . - s. 966-969 .
↑ Edward Weyr. Zur Theorie der bilinearen Formen (neopr.) // Monatsh. Matematiikka. fysiikka. - 1980. - T. 1 . - S. 163-236 .
↑ 1 2 3 Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Lineaarialgebran edistyneet aiheet : Kudontamatriisiongelmat Weyrin lomakkeen kautta . – Oxford University Press , 2011.
↑ Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Lineaarialgebran edistyneet aiheet : Kudontamatriisiongelmat Weyrin lomakkeen kautta . - Oxford University Press , 2011. - S. 44 , 81-82.