Pilkuluokka

Kategoriateoriassa pilkun luokka on erityinen rakennelma , joka tarjoaa tavan tutkia morfismeja ei luokkaobjektien korrelaatioina keskenään, vaan itsenäisinä objekteina. Nimi "pilkkuluokka" tuli alkuperäisestä ( Loverin keksimästä ) nimityksestä, joka sisälsi pilkkumerkin. Myöhemmin vakionimikettä on muutettu mukavuussyistä.

Määritelmä

Yleinen tapaus

Olkoon ja olla luokkia ja olla ja olla funktoreita ${\mathcal {A},{\mathcal {B}}$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $T$

{\mathcal A}{\xrightarrow {\;\;S\;\;}}{\mathcal C}{\xleftarrow {\;\;T\;\;}}{\mathcal B}

Pilkuluokka voidaan muodostaa seuraavasti: $(S\alaspäin T)$

Objektit ovat kaikki muodon kolmiosia , joissa on objekti , on objekti ja on morfismi . $(\alpha ,\beta ,f)$ $\alpha$ $\mathcal{A}$ $\beeta$ ${\mathcal {B}}$ $f:S(\alpha )\rightarrow T(\beta )$ ${\mathcal {C}}$
Morfismit osoitteesta - ovat kaikki pareja , joissa , ovat morfismeja kohtaan ja vastaavasti siten, että seuraava kaavio siirtyy : $(\alpha ,\beta ,f)$ $(\alpha ',\beta ',f')$ $(g,h)$ $g:\alpha \rightarrow \alpha '$ $h:\beta \rightarrow \beta '$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal B}$

${\begin{matrix}S(\alpha )&{\xrightarrow {S(g)))&S(\alpha ')\\f{\Bigg \downarrow }&&{\Bigg \downarrow }f'\\T( \beta )&{\xrightarrow[ {T(h)}]{}}&T(\beta ')\end{matrix}}$

Morfismien koostumus otetaan ikään kuin viimeinen lauseke olisi määritelty. Objektin identiteettimorfismi on . $(g,h)\circ (g',h')$ $(g\circ g',h\circ h')$ $(\alpha ,\beta ,f)$ $({\mathrm {id}}_{{\alpha }},{\mathrm {id}}_{{\beta }})$

Kaksi erikoistapausta

Tarkastellaan kahta erikoistapausta, jotka ovat yksinkertaisempia ja esiintyvät hyvin usein.

Ensimmäinen tapaus on objektiluokka yli $A$ . Olkoon edellisessä määritelmässä identiteettifunktio ja (luokka, jossa on yksi objekti ja yksi morfismi). Sitten jollekin luokan esineelle . Tässä tapauksessa käytetään merkintää . Näytä objektit ovat yksinkertaisesti pareja , joissa . Joskus tässä tilanteessa ne merkitään nimellä . Morfismi alkaen - on morfismi , joka sulkee seuraavan kaavion kommutatiiviseksi: ${\mathcal A}={\mathcal {C}}$ $S$ ${\mathcal {B}}={\textbf {1}}$ $*$ $T(*)=A$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $({\mathcal {C}}\downarrow A)$ $(\alpha ,*,f)$ $(\alpha ,f)$ $f:\alpha \rightarrow A$ $f$ $\pi _{\alpha }$ $(B,\pi _{B})$ $(B',\pi _{{B'}})$ $g:B\oikea nuoli B'$

Kaksoistapaus on kohteen luokka $A$ . Tässä on funktion 1 funktio ja se on identiteettifunktio. Tässä tapauksessa käytetään merkintää , jossa on kohde , joka liittyy . Objektit ovat pareja , joissa . Morfismi ja välillä on kartoitus , joka sulkee seuraavan kaavion kommutatiiviseksi: $S$ $T$ $(A\downarrow {\mathcal {C}})$ $A$ ${\mathcal {C}}$ $S$ $(Ruokalappu})$ $i_{B}:A\nuoli oikealle B$ $(Ruokalappu})$ $(Ruokalappu'}})$ $h:B\oikea nuoli B'$

Nuolien luokka

Toinen erikoistapaus on, kun ja ovat identtiset funktorit kohdassa (so ). Tässä tapauksessa pilkkuluokkaa kutsutaan nuolien luokkaksi . Sen objektit ovat morfismeja ja sen morfismit ovat kommutatiivisia neliöitä . [yksi] $S$ $T$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$

Ominaisuudet

Jokaiselle nuoliluokalle määritellään siitä kaksi unohtavaa funktiota:

Esikuvafunktio , joka kartoittaa: $S\downarrow T\to {\mathcal A}$
- esineet: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$
- morfismit: ; $(g,h)\mapsto g$
Kuvafunktio , joka kuvaa: $S\downarrow T\to {\mathcal B}$
- esineet: ; $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$
- morfismit: . $(g,h)\mapsto h$

Esimerkkejä

Pisteellinen joukkoluokka on pilkkuluokka , jossa on funktori , joka valitsee jonkin yksittäisen joukon, ja on identiteettifunktio sarjassa . Samalla tavalla voidaan muodostaa topologisten avaruuksien kategoria, jossa on merkitty piste . $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Set)))}$ $\scriptstyle {\bullet }$ $\scriptstyle {{\mathbf {Set}}}$ $\scriptstyle {(\bullet \downarrow {\mathbf {Top}})}$
Kaavioiden luokka on pilkun luokka , jossa on funtori, joka lähettää osoitteeseen . Näkymäobjektit koostuvat kahdesta joukosta ja funktiosta; on reunojen indeksointijoukko, on joukko pisteitä ja valitsee sitten kullekin alkioparin , eli valitsee tietyn reunan mahdollisten reunojen joukosta . Tämän kategorian morfismit ovat indeksijoukon ja kärkijoukon toimintoja siten, että tiettyä reunaa vastaavien kärkien kuvat vastaavat sen kuvaa. $\scriptstyle {({\mathbf {Set}}\downarrow D)}$ $\scriptstyle {D:{\mathbf {Set}}\rightarrow {\mathbf {Set}}}$ $s$ $s\ kertaa s$ $(a, b, f)$ $a$ $b$ $f:a\nuoli oikealle (b\kertaa b)$ $b$ $a$ $f$ $b\kertaa b$

Pariliitokset

Funktorit ja ovat konjugoituja , jos ja vain, jos pilkku- ja -luokat ovat isomorfisia, ja vastaavat elementit heijastavat samaan elementtiin . Tämä mahdollistaa liitännäisfunktioiden kuvaamisen ilman joukkoja, ja tämä oli pääasiallinen syy pilkkukategorian rakentamiseen. $F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}$ $G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}$ $(F\downarrow id_{\mathcal {D)))$ $(id_{{\mathcal {C}}}\downarrow G)$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$

Luonnolliset muutokset

Jos kuvat ovat yhteneväisiä, kaavio, joka määrittelee morfismin c :hen , osuu samaan kaavion kanssa, joka määrittelee luonnollisen muunnoksen . Ero näiden kahden määritelmän välillä on se, että luonnollinen muunnos on tietty muodon morfismien luokka , kun taas pilkkuluokan objektit ovat kaikki tämän tyyppisiä morfismeja. Pilkuluokkaan kuuluva funktionaattori voi valita tietyn morfismiperheen. Itse asiassa luonnollinen muunnos , jossa vastaa funktoria , joka kartoittaa kohteen ja morfismit . Tämä määrittelee bijektion luonnollisten muunnosten ja funktoreiden välillä , jotka ovat vasemmanpuoleisia molempien unohtavien funktoreiden käänteisfunktiosta . $S,T$ $S\downarrow T$ $\alpha =\beta ,\alpha '=\beta ',g=h$ $S\ to T$ $S(\alpha )\ - T(\alpha )$ $\eta :S\to T$ $S,T:{\mathcal A}\to {\mathcal C}$ ${\mathcal A}\to (S\downarrow T)$ $\alpha$ $(\alpha ,\alpha ,\eta_{\alpha })$ $g$ $(g, g)$ $S\ to T$ ${\mathcal A}\to (S\downarrow T)$ $S\downarrow T$

Muistiinpanot

↑ Adámek, Jiří; Horst Herrlich ja George E. Strecker. Abstrakti ja konkreettiset luokat (uuspr.) . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 0-471-60922-6 .

Kirjallisuus

S. McLane Kategoriat työskentelevälle matemaatikolle, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .