Jatkuva kinematiikka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 29.9.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Jatkuvan väliaineen kinematiikka ( toisesta kreikkalaisesta sanasta κίνημα - liike) on kinematiikan osa, joka tutkii jatkuvan väliaineen liikettä (muodonmuuttuvan kappaleen, nesteen tai kaasun mallit) ottamatta huomioon sen aiheuttavia syitä. Liikkeen suhteellisuuden vuoksi on pakollista ilmoittaa viitekehys, jonka suhteen liikettä kuvataan.

Jatkuvuusmalli

Malli toimii alkeistilavuuden käsitteellä , joka on pieni ongelman ominaiskokoon verrattuna, mutta jossa on monia hiukkasia ( atomeja, molekyylejä jne.) vuorovaikutuksessa toistensa kanssa. Keskimääräisen vapaan reitin (keskimääräinen etäisyys, jonka hiukkanen kulkee törmäysten välillä) tulisi olla paljon pienempi kuin ominaiskoko . Tällaista mallia voidaan kuvata jatkuvan väliaineen hiukkasilla - jatkuvan väliaineen alkuainetilavuuksilla, joissa jatkuvan väliaineen (tarkasteltavan kohteen hiukkasjoukon) ominaisuuksia voidaan pitää vakioina. $dV$ $dV$

Lagrangian ja Euler lähestymistavat jatkuvuuden kuvaamiseen

Jatkuvan väliaineen hiukkasten tunnistamiseksi ne on numeroitava. Avaruuden kolmiulotteisuuden vuoksi käytetään kolmea muuttujaa . Tällaisia väliaineen hiukkasten tunnistusparametreja kutsutaan Lagrangin (tai materiaalin) koordinaateiksi . Lagrange-koordinaateiksi voidaan valita esimerkiksi hiukkasten karteesiset koordinaatit jossain vaiheessa . Yleisesti ottaen menetelmä väliaineen hiukkasten "numerointiin" voi olla mielivaltainen. $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\tau$

Tilakoordinaattijärjestelmän ympäristön pisteiden koordinaatit ovat nimeltään Euler (tai spatiaaliset) koordinaatit . Ratkaisu jatkuvan väliaineen kinematiikkaan on määrittää materiaalihiukkasen koordinaatit milloin tahansa, eli löytää funktioita tai funktioita , jotka yhdistävät kunkin hiukkasen sen asemaan ajassa. $(x_1,x_2,x_3)$ $(x_1,x_2,x_3)$ $(\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ ${\displaystyle x_{i}=f(t,\xi _{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$ ${\displaystyle \xi _{i}=g(t,x_{j}|_{j=1,2,3}){\Big |}_{i=1,2,3))$

Mikä tahansa funktio, joka kuvaa hiukkasten ominaisuuksia jatkuvassa väliaineessa ( tiheys , lämpötila , kiihtyvyys jne.), voidaan määritellä Lagrangin koordinaattien funktiona ( Lagrangin lähestymistapa ) tai Eulerin koordinaattien funktiona (Euler- lähestymistapa ) . $\rho (t,\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3})$ $\rho (t,x_{1},x_{2},x_{3})=\lim _{\Delta V\to 0}{\frac {\Delta M(\cdot )}{\Delta V}}$

Kaikille Euler-muuttujien funktioille , $f(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\displaystyle {\frac {df}{dt))={\frac {\partial f}{\partial t))+v_{1}{\frac {\partial f}{\partial x_{1))} +v_{2}{\frac {\partial f}{\partial x_{2))}+v_{3}{\frac {\partial f}{\partial x_{3))))

Hiukkasen liikerata on sen paikkojen paikka aina. Hiukkasen liikerata määräytyy liikkeen lain mukaan

Virtaviiva tietyllä hetkellä on käyrä, jonka tangentin suunta kussakin pisteessä on sama kuin jatkuvan väliaineen nopeusvektorin suunta sillä hetkellä. Virtaviivat määritetään yhtälöistä $\tau$ ${\vec {v}}(t,x_{1},x_{2},x_{3})$

{\frac {dx_{1}}{v_{1}(\tau ,x_{i})}}={\frac {dx_{2}}{v_{2}(\tau ,x_{i })}}={\frac {dx_{3}}{v_{3}(\tau ,x_{i})}}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Cauchy-Helmholtzin kaava

Cauchy-Helmholtzin kaava suhteuttaa väliaineen hiukkasten nopeuden pisteessä , joka sijaitsee pienessä naapurissa jossain pisteessä , jos hiukkasten nopeus pisteessä tunnetaan . $A$ $O(x_{1},x_{2},x_{3})$ $O$

{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}

missä on venymänopeustensori , a on pieni venymätensori ja on pyörrevektori. ${\hat {E}}=(e_{ij})$ ${\hat {\varepsilon }}=(e_{ij}\,dt)$ ${\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}={\vec {\omega }}$

Todiste

Kohta esitetään muodossa $A$

A(x_{1}+\Delta x_{1},x_{2}+\Delta x_{2},x_{3}+\Delta x_{3})

Lineaarisella approksimaatiolla

v_{i}(t,{\vec {x}}_{O}+\Delta {\vec {x}})-v_{i}(t,{\vec {x}}_{O })={\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{2}}} \Delta x_{2}+{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{3}}}\Delta x_{3}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

, tai nabla - operaattorin kautta : .

\Delta v_{i}(t,{\vec {x}}_{O})={\vec {r}}\cdot \nabla v_{i}{\Big |}_{i=1 ,2,3}

\left({\vec {r}}={\overrightarrow {OA}}\right)

Pisteen siirtäminen suhteellisesti on muotoa , ylhäältä tai koordinaatistoittain $A$ $O$ $d{\vec {r}}=({\vec {v}}_{A}-{\vec {v}}_{O})dt$ $d{\vec {r}}=({\vec {r}}\nabla ){\vec {v}}\,dt$

dr_{i}=\sum _{j=1,2,3}\left({\frac {\partial v_{i)){\partial r_{j))}\cdot r_{j}\ right)dt{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Voidaan kirjoittaa uudelleen

dr_{i}=\sum _{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt

missä

e_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial r_{j}}}+{\frac {\partial v_{ j}}{\osittainen r_{i}}}}\oikea)

, a .

f_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial v_{i}{r_{j}}}-{\frac {\partial v_{j} }{\partial r_{i}}}}\right)

Muuntamisen jälkeen

\sum _{j}f_{ij}r_{j}=\left[{\frac {1}{2))(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec { r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}

Osoittautuu, että Cauchy-Helmholtzin kaava:

d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times { \vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt

Siten , tai nopeuksille: . $d{\vec {r}}_{A}=d{\vec {r}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left ({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v)))\times {\vec {r}}\right)dt$ ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1} {2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}$

Puhdas muodonmuutos

Puhtaan muodonmuutoksen tapaus syntyy, kun liikkeestä ei ole pyörivää osaa . Pääkoordinaattijärjestelmässä (vastaavissa pääakseleissa) on totta: $(\nabla \times {\vec {v}}=0)$

{\hat {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}

Cauchy-Helmholtzin kaavan mukaan . $d{\vec {r}}=\varepsilon _{1}r_{1}{\vec {e}}_{1}+\varepsilon _{2}r_{2}{\vec {e} }_{2}+\varepsilon _{3}r_{3}{\vec {e}}_{3}$

Puhtaalla muodonmuutoksella jatkuvan väliaineen pienen partikkelin, joka tällä hetkellä sijaitsee sädepallolla, pisteet siirtyvät ellipsoidiksi , jota kutsutaan deformaatioellipsoidiksi . Muodonmuutosten pääakseleilla makaavan jatkuvan väliaineen hiukkasen pisteet säilyvät samoilla akseleilla tapahtuneen muodonmuutoksen jälkeen, ja ne kokevat vain siirtymän niitä pitkin. $t$ $a$ $\left(\xi _{1}^{2}+\xi _{2}^{2}+\xi _{3}^{2}=a^{2}\right)$ $dt$

Ellipsoidin pääakselien pituudet kuvataan juurilla . ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3))$ $a^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{1}\,dt)),\;b^{2}={\frac {R^{2}} {1-2e_{2}\,dt)),\;c^{2}={\frac {R^{2}}{1-2e_{3}\,dt}}$

Homogeeninen muodonmuutos

Siinä tapauksessa, että , jotka määräävät hiukkasen puhtaan muodonmuutoksen ja pyörimisen ovat vakioita, muodonmuutosta kutsutaan homogeeniseksi. ${\hat {E)),\;{\vec {\omega }}$

Tasaista muodonmuutosta varten:

Tasossa tai suoralla viivalla sijaitsevat väliaineen pisteet jäävät muodonmuutoksen jälkeen tietylle tasolle tai suoralle viivalle;
Päämuodonmuutosakselien suunnat missä tahansa aineen pisteessä ovat samat;
Jos jossain vaiheessa se on sama kaikissa välineen kohdissa, niin tällä hetkellä se on sama kaikissa välineen kohdissa. ${\näyttötyyli {\hattu {E}}}$ $\vec\omega$

Johdonmukaisuusehto

Määritelmän mukaan näillä tensoreilla on vain 6 erillistä komponenttia. Nämä 6 komponenttia eivät vieläkään ole riippumattomia, koska ne ilmaistaan kolmella nopeuskomponentilla . Riippuvuuden vuoksi ne täyttävät suhteet, joita kutsutaan Saint-Venant-yhteensopivuusehdoksi: ${\displaystyle e_{ij}=e_{ji))$ $(v_{1},v_{2},v_{3})$

{\frac {\partial ^{2}e_{ij)){\partial x_{k}\partial x_{l))}={\frac {\partial ^{2}e_{kl)){ \partial x_{i}\partial x_{j))}={\frac {\partial ^{2}e_{kj)){\partial x_{i}\partial x_{l))}={\frac { \osittais ^{2}e_{il}}{\osittais x_{k}\osittinen x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}

Näistä 81 yhtälöstä vain 6 on riippumattomia.

Kirjallisuus

Luennot Continuum Mechanicsista, M. E. Eglit, Luento 1, 7-11
Continuum mechanics, L. I. Sedov, osa 1, luku 2