Työmatkamatriisit

Kaksi matriisia ja niiden sanotaan kommutoivan (tai kommutoivan ), jos tai vastaavasti niiden kommutaattori on nolla. Matriisijoukon sanotaan liikkuvan , jos ne ovat pareittain muuttuvia, mikä tarkoittaa, että mikä tahansa matriisipari kyseisessä joukossa liikkuu. $A$ $B$ $AB=BA$ $[A,B]=AB-BA$ ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k))$

Kuvaus ja ominaisuudet

Työmatkamatriisit säilyttävät toistensa omat aliavaruudet [1] . Seurauksena on, että työmatkamatriisit algebrallisesti suljetun kentän yli ovat samanaikaisesti kolmiomaisia , eli on kannat , joiden päällä matriiseista tulee ylempi kolmio . Toisin sanoen, jos muutettavissa, on olemassa samankaltaisuusmatriisi , joka on ylempi kolmiomainen kaikille . Päinvastoin ei aina pidä paikkaansa, kuten seuraava vastaesimerkki osoittaa: ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{k))$ $P$ $P^{-1}A_{i}P$ $i\in \{1,\ldots ,k\}$

${\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix }}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{ bmatrix}}$

Kuitenkin, jos kahden matriisin kommutaattorin neliö on yhtä suuri kuin nolla, eli , niin käänteinen on totta [2] .

[A,B]^{2}=0

Jos matriisit ja ovat samanaikaisesti diagonalisoitavissa , eli on olemassa samankaltaisuusmatriisi , jossa molemmat ovat diagonaalisia, niin ne ovat permutoitavia. Päinvastoin ei välttämättä pidä paikkaansa, koska esimerkiksi yksi matriiseista ei ehkä ole diagonalisoitavissa $A$ $B$ $P$ $P^{-1}AP$ $P^{-1}BP$ $A$ $B$

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ , mutta ei diagonalisoitavissa ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

Jos kuitenkin molemmat matriisit ovat diagonalisoitavia, ne voivat olla diagonalisoitavissa samanaikaisesti.

Jos jollakin matriiseista on ominaisuus, että sen minimipolynomi osuu yhteen ominaispolynomin kanssa (eli sillä on maksimiaste), mikä tapahtuu erityisesti, kun ominaispolynomilla on vain yksinkertaiset juuret, niin toinen matriisi voidaan kirjoittaa polynomina ensimmäisessä matriisissa .
Samanaikaisen kolmiomittauksen suorana seurauksena kahden permutaatiokompleksimatriisin A ja B ominaisarvot algebrallisten kerrannaisineen ( niiden ominaispolynomien juurien multisarjat ) voidaan kartoittaa siten, että näiden kahden matriisin minkä tahansa polynomin ominaisarvojoukot on arvon monijoukko . Tämä lause johtuu Frobeniuksesta [3] . ${\displaystyle \alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i))$ ${\näyttötyyli P(A,B)}$ $P(\alpha _{i},\beta _{i})$
Kaksi hermiittistä matriisia liikkuvat, jos niiden oikeat aliavaruudet ovat samat. Erityisesti kaksi hermiitistä matriisia, joissa ei ole useita ominaisarvoja, kommutoidaan, jos niiden ominaisvektorijoukot ovat samat. Tämä johtuu molempien matriisien ominaisarvoista. Olkoon ja kaksi Hermitian matriisia. ja niillä on yhteisiä ominaisavaruuksia, jos ne voidaan kirjoittaa muodossa ja . Sen pitäisi myös $A$ $B$ $A$ $B$ $A=U\Lambda _{1}U^{\tikari }$ $B=U\Lambda _{2}U^{\tikari }$

AB=U\Lambda _{1}U^{\dagger }U\Lambda _{2}U^{\dagger }=U\Lambda _{1}\Lambda _{2}U^{\tikari }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\dagger }=U\Lambda _{2}U^{\dagger }U\Lambda _{1}U^{\dagger }=BA .

Kahden matriisin ominaisuus olla permutoitava ei ole transitiivinen – matriisi voi liikkua sekä kanssa että kanssa , mutta matriisit eivät myöskään kommutoi toistensa kanssa. Esimerkkinä voidaan mainita, että identiteettimatriisi liikennöi kaikkien muiden matriisien kanssa, jotka eivät aina liiku keskenään. Jos tarkasteltavana oleva matriisijoukko rajoittuu hermiittisiin matriiseihin, joissa ei ole useita ominaisarvoja, niin kommutatiivisuus on transitiivinen ominaisvektoreiden karakterisoinnin seurauksena. $A$ $B$ $C$ $B$ $C$
Lie-lausetta , joka osoittaa, että mikä tahansa liukoisen Lie-algebran esitys on samanaikaisesti kolmiotettavissa ylempään kolmiomaiseen, voidaan nähdä yleistyksenä.
Matriisi kommutoidaan minkä tahansa muun matriisin kanssa, jos ja vain jos se on skalaarimatriisi, eli matriisi, jonka muoto on , jossa on identiteettimatriisi ja skalaari. $A$ $\lambda \cdot E$ $E$ $\lambda$

Esimerkkejä

Identiteettimatriisi kommutoidaan kaikkien matriisien kanssa.
Mikä tahansa diagonaalimatriisi kommutoidaan minkä tahansa muun diagonaalimatriisin kanssa [4] .

Jordan-solut liikkuvat ylemmillä kolmiomatriiseilla, joilla on samat arvot diagonaaleissa.
Jos kahden symmetrisen matriisin tulo on symmetrinen matriisi, nämä matriisit kommutoivat.

Historia

Matriisien kommutoinnin (permutoinnin) käsitteen esitteli Cayley matriisiteoriaa koskevissa muistelmissaan, joissa esitettiin myös matriisien aksiomatisointi. Ensimmäinen olennainen todistettu tulos kommutaatiosta oli Frobeniuksen (1878) [5] edellä esitetty tulos .

Muistiinpanot

↑ Horn, Johnson, 2012 , s. 70.
↑ Horn, Johnson, 2012 , s. 127.
↑ Frobenius, 1877 , s. 1–63.
↑ Liikkuvatko diagonaalimatriisit aina? . Stack Exchange (15. maaliskuuta 2016). Haettu: 4.8.2018. (määrätön)
↑ Drazin, 1951 , s. 222–231.

Kirjallisuus

Roger A. Horn, Charles R. Johnson. matriisianalyysi. - Cambridge University Press, 2012. - ISBN 9780521839402 .
- Horn R., Johnson C. Matrix Analysis. - M . : "Mir", 1989.
Frobenius G. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1877. - T. 84 .
Drazin M. Jotkut matriisikommutatiivisuuden yleistykset // Proceedings of the London Mathematical Society. - 1951. - Osa 1 , numero. 1 . - doi : 10.1112/plms/s3-1.1.222 .