Lopullisesti luotu laajennus

Äärimmäisen generoitu kenttälaajennus $K$ on kentän laajennus siten, että siinä on elementtejä , joissa . Alkiot ovat algebrallisia murtolukuja , joissa ja ovat polynomeja. Jos , niin laajennusta kutsutaan yksinkertaiseksi. $E$ $K$ $E$ ${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n))$ $E=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $E$ ${\frac {f(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})}{g(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n)))))$ $f$ $g$ $n = 1$ $K(\alpha )$

Äärimmäisesti luotujen laajennusten ominaisuus

Jos äärellisesti generoitu laajennus on algebrallinen yli , niin se on äärellinen . $E=K(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $K$

Yksinkertaisen algebrallisen laajennuksen osalta tämä johtuu siitä, että polynomien arvojoukko kohteesta ei ole vain rengas , vaan myös kenttä. Todellakin, anna . Tällöin polynomi ei ole jaollinen - minimipolynomi over . Mutta se on redusoitumaton polynomi ja siten koprime. Tämä tarkoittaa, että on olemassa polynomeja yli ja sellainen, että . Korvaamalla tähän yhtäläisyyteen meillä on , eli se on käännettävä ja se on haluttu kenttä . Samalla tavalla jakamalla saamme sen, jos sillä on tutkinto $E=K(\alpha )$ $\alpha$ $K[\alpha ]$ $g(\alpha )\neq 0$ $g(x)$ $p(x)$ $\alpha$ $K$ $p(x)$ $g(x)$ $p(x)$ $kirves)$ $b(x)$ $K$ $a(x)p(x)+b(x)g(x)=1$ $\alpha$ $b(\alpha )g(\alpha )=1$ $g(\alpha)$ $K[\alpha ]$ $K(\alpha )$ $f(x)$ $p(x)$ $p(x)$ $n$ , sitten $[E:K]=n$

Useista elementeistä koostuvaa laajennusta varten meillä on: . Algebralliset elementit pysyvät sellaisina suuressa kentässä . Seuraavaksi sovellamme lausetta äärellisten laajennusten torniin. $K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})\ldots (\ alfa _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})\ldots (\alpha _{i-1})$

Kirjallisuus

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Kommutatiivinen algebra v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967

Lopullisesti luotu laajennus

Äärimmäisesti luotujen laajennusten ominaisuus

Kirjallisuus

Katso myös