Gaussin jatkumojakauma
Gaussin jatkumojakauma otettiin käyttöön kvanttikenttäteoriassa äärellisulotteisten vektorien Gaussin jakauman käsitteen laajennuksena skalaari- ja vektorikenttien jatkumoavaruuksiin . Jatkuvuusjakaumaa käytetään aktiivisesti funktionaalisten integraalien laitteessa .
Määritelmä
Tarkastellaan tehtävän ehtojen määrittelemää kenttää jostain avaruudesta (yleensä ongelma määrittelee olosuhteet, kuten tasaisuuden ja pienenemisen äärettömyydessä). Yleensä siinä on mielivaltainen määrä kuvakkeita ja argumentteja. Kun kenttäkuvakkeiden joukko merkitään muotoon , ja argumenttijoukko muodossa , kutsumme normaalijakauman tiheyttä (Gaussin) funktionaaliseksi.
,
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\iint \limits _{\Omega ^{2}}\!\mathrm { d} X_{1}\,\mathrm {d} X_{2}\,\varphi _{I_{1}}(X_{1})\cdot K_{I_{1},I_{2}}(X_ {1},X_{2})\cdot \varphi _{I_{2}}(X_{2})\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df90230b065fce148f45dfb81b6aa7560d2c8a09)
missä on kenttäargumenttien toimialue, kuvakejoukot ilmaisevat summauksen ja on jonkin differentiaali-integraalioperaattorin ydin , ja se on normalisointivakio.
Tämä määritelmä on yleensä kirjoitettu lyhyemmin jättäen pois merkit, argumentit ja integraatiot:
.
![{\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)\right\}=C \exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8079e0c665e981498992004c24282f2b0e24007)
Keskiarvot
Oletetaan, että haluamme laskea jonkin suuren ( tilafunktio ) keskiarvon . Esittelemme keskiarvon toiminnan
![{\displaystyle F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2efa2888b17d414da8ac85ac12a7926e69ade1c)
![{\displaystyle \langle F\rangle =\int \limits _{E}\!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]F[\varphi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/def965106793053b60205b4a7712aa57c9639315)
Funktionaalinen (polku)integraali kirjoitetaan lausekkeen oikealle puolelle (katso lisätietoja kohdasta Funktionaalinen integraali ).
Gaussin polun integraalien laskenta
Polun Gaussin integraaleille n-ulotteisten Gaussin integraalien kaavan yleistys polkutapaukseen toimii:
.
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\left(\varphi ,K\varphi \right)+\left (A,\varphi \right)\right\}=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{-1/2}\exp \left\{{\frac { (A,K^{-1}A)}{2}}\oikea\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b88dd7586b1dd330e16e316ee72b6228ec15415b)
Normalisointiehto ja vakio
Esittelyssä normalisointiehto
![{\displaystyle \int \!{\mathcal {D}}\varphi \,\rho \left[\varphi \right]=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b26db962bc5b4df0934f5e6e6c3700910c1023)
ja käyttämällä edellisen kappaleen kaavaa, saamme
.
![{\displaystyle C=\det \left[{\frac {K}{2\pi }}\right]^{1/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f758b76ab1854e42b36498d8bcc0d110e3b2a50f)
Katso myös
Kirjallisuus
- Richard Phillips Feynman, Albert R. Hibbs. Kvanttimekaniikka ja polkuintegraalit. - Kustantaja "Mir", 1968.