Monimuotoinen analyysi

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 21.5.2021 tarkistetusta versiosta . vahvistus vaatii 1 muokkauksen .

Multiscale-analyysi (MSA) on työkalu aallokepohjan rakentamiseen . Se kehitettiin vuosina 1988/89. Malla ja I. Meyrom. Monimittakaavaisen analyysin ideana on, että signaali hajotetaan ortogonaaliseen perustaan , joka muodostuu aallokefunktion siirtymistä ja monimittaisista kopioista . Signaalin konvoluutio aalloilla mahdollistaa signaalin ominaispiirteiden korostamisen näiden aaltojen lokalisoinnin alueella.

Multiscale-analyysin (MSA) käsite on perustavanlaatuinen aalloteoriassa. Monimittaista analyysiä varten on kehitetty nopea kaskadilaskenta-algoritmi, joka on samanlainen kuin nopea Fourier-muunnos .

Määritelmä

KMA:ta suoritettaessa signaaliavaruus esitetään sisäkkäisten aliavaruuksien järjestelmänä , jotka eroavat toisistaan skaalaamalla itsenäisen muuttujan uudelleen. Siten suljettujen tilojen joukkoa kutsutaan multi-scale-analyysiksi (MCA) , jos tietyt ehdot täyttyvät. $L^{2}(\mathbb {R} )$ $V_{j}\subset L^{2}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$ $L^{2}(\mathbb {R} )$ $V_{j}(\mathbb {R} ),j\in \mathbb {Z} ,$

(1) Pesimätilanne:

V_{j}\subset V_{j+1}

kaikille . Signaalien koko avaruus kokonaisuutena voidaan esittää vastaavien signaalien hajoamistasojen sisäkkäisten suljettujen aliavaruuksien sarjana;

j\in \mathbb {Z}

L^{2}(\mathbb {R} )

m

(2) Osioinnin täydellisyyden ja tiheyden ehto:

\bigcup \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}

tiukasti sisään

L^{2}(\mathbb {R} );

(3) Aliavaruuksien ortogonaalisuuden ehto:

\bigcap \limits _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}={0};

(4) Suojelutilanne aliavaruudessa toimintojen siirtymissä:

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t+1)\in V_{j};

(5) Skaalaa minkä tahansa funktion muunnos 2-kertaisella argumentilla siirtää funktion viereiseen aliavaruuteen:

{\displaystyle f(t)\in V_{j))

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(2t)\in V_{j+1};

f(t)\in V_{j}\Leftrightarrow f(t/2)\in V_{j-1};

(6) On olemassa sellaisia, joiden kokonaislukusiirtymät suhteessa argumenttiin muodostavat avaruuden ortonormaalin

{\displaystyle r(t)\in V_{0))

V_{0}

kannan :

f_{0,k}(t)=f(tk),k\in \mathbb {Z} .

Funktiota kutsutaan skaalausfunktioksi .

r(t)

Ominaisuudet

Merkitään funktion siirtymiä ja dilataatioita $f:$ $f_{k,n}(x)=2^{k/2}f(2^{k}x+n),k,n\in \mathbb {Z} .$

Muodosta ortonormaali perusta mille tahansa funktiolle $j\in \mathbb {Z}$ $\varphi _{j,n},n\in \mathbb {Z}$ $V_{j}.$

Jos sitten . $f\in V_{j},$ $f(\cdot \pm 2^{-j})\in V_{j},j\in \mathbb {Z}$

Ehdon (5) funktiota kutsutaan skaalaukseksi tietylle CMA:lle. $\varphi$

Ortogonaalisten aallokekantojen rakentaminen

Anna heidän muodostaa KMA. Merkitään ortogonaalisella komplementilla avaruudessa Sitten avaruus hajotetaan suoraksi summaksi . Näin ollen peräkkäisellä avaruuksien hajottelulla ja ottaen huomioon ehto (3) saadaan A käyttämällä ehtoa (2), saamme: $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ $W_j$ $V_{j}$ $V_{j+1}.$ $V_{j+1}$ $V_{j+1}=V_{j}\bigoplus W_{j}.$ $V_{j}$ $V_{j+1}=\bigoplus \limits _{i=-\infty }^{j}W_{i}.$ $L_{2}(\mathbb {R} )={\overline {\bigoplus \limits _{j=-\infty }^{\infty }W_{j))}.$

Siten avaruus hajoaa parittaisten ortogonaalisten aliavaruuksien suoraksi summaksi.On tärkeää, että funktio generoi toisen funktion , jonka kokonaislukusiirtymät ovat ortonormaalikanta .. Tällainen konstruktio voidaan suorittaa seuraavalla lauseella. $L_{2}(\mathbb {R} )$ $W_{j}.$ $\varphi$ $\psi \in W_{0},$ $W_{0}.$ $\psi$

Olkoon - CMA skaalaustoiminnolla - sen maski , järjestelmä on ortonormaali, $\{V_{j}\}_{j\in \mathbb {Z} }$ $\varphi ,$ $m_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }h_{n}e^{2\pi in\xi }$ ${\displaystyle \{\varphi _{0n}\}_{n\in \mathbb {Z} ))$

\psi :=\sum \limits _{n\in \mathbb {N} }(-1)^{1-n}h_{1-n}\varphi _{1n}.

Tällöin funktiot muodostavat avaruuden ortonormaalin perustan $\psi _{jn},j,n\in \mathbb {Z}$ $L_{2}(\mathbb {R} ).$

Moniulotteinen KMA

Dimensioavaruuden yleisessä tapauksessa ortonormaali kanta muodostaa funktioita, joiden avulla suoritetaan niiden avaruuden minkä tahansa funktion MRA , kun taas normalisointikerroin on yhtä suuri kuin . $n-$ $2^{n}-1$ $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ $2^{nm/2}$

Muistiinpanot

Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-585-47090-1
Novikov I. Ya., Protasov V. Yu., Skopina M. A., Splash Theory , (2005), Fizmatlit, Moskova, ISBN 5-9221-0642-2