Kriittinen dynamiikka

Kriittinen dynamiikka on osa kriittisen käyttäytymisen ja tilastollisen fysiikan teoriaa, joka kuvaa fyysisen järjestelmän dynaamisia ominaisuuksia kriittisessä pisteessä tai sen lähellä . Se on kriittisen stiikan jatko ja yleistys, jonka avulla voidaan kuvata järjestelmän suureita ja ominaisuuksia, joita ei voida ilmaista vain samanaikaisten tasapainojakauman funktioiden avulla . Tällaisia suureita ovat esimerkiksi kuljetuskertoimet, relaksaationopeudet, moniaikaiset korrelaatiofunktiot ja vastefunktiot ajasta riippuviin häiriöihin.

Kuten kaikki tilastollinen fysiikka , kriittinen dynamiikka käsittelee valtavaa tai jopa ääretöntä määrää vapausasteita . Tällaisten järjestelmien ajassa tapahtuvalle kehitykselle on ominaista erilaiset stokastiset (satunnaiset) prosessit: lämpöliike ja molekyylien törmäys kaasujärjestelmässä, hilan pyörien uudelleensuuntautuminen kiinteässä aineessa, turbulenttien pyörteiden syntyminen ja vuorovaikutus nestevirtauksessa. Tällaisten ongelmien muotoilu ja ratkaisu suoritetaan käyttämällä kvanttikenttäteorian formalismia , joka luotiin alun perin korkeaenergisen fysiikan ja alkuainehiukkasten tarpeisiin. Prosessien stokastisuutta mallinnetaan lisäämällä dynaamisiin yhtälöihin lisäsatunnainen termi - "kohina", jolla on tunnettu (yleensä Gaussin ) jakauma.

Lyhyt kuvaus järjestelmästä

Stokastisen dynamiikan ongelmien ilmaisu

Merkitsemällä järjestelmän tilakoordinaattien ja indeksien joukkoa, koko järjestelmän kenttäjoukkoa, voimme kirjoittaa muistiin stokastisen dynamiikan ongelman standardimuotoilun. $x$ $\phi(x)$

\partial _{t}\phi (x)=U(x;\phi )+\eta (x),\ \ \ <{\hat {\eta }}(x){\hat {\eta }}(x')>=D(x,x')

Tässä U on tietty t-paikallinen funktionaali, satunnainen ulkoinen voima, joka mallintaa kaikkia järjestelmän nopeasti muuttuvia prosesseja. Sillä oletetaan olevan Gaussin jakauma nollakeskiarvolla ja annetulla korrelaattorilla D. Myös viiveehto ja jotkut reunaehdot täyttyvät, jotka yleensä otetaan ajoittain nollaksi $\eta$ $t->-\infty$

Tämä on yleisin evoluutioyhtälön muoto stokastisen dynamiikan ongelmissa. Tietenkään se ei ole yksinkertaista ratkaisua mille tahansa toiminnallisen U:n ja korrelaattorin D valinnalle.

Alla annamme useita esimerkkejä stokastisen dynamiikan ongelmista.

Brownin liike

Kirjoitetaan yhtälöt Brownin liikkeelle stokastisen dynamiikan kielellä:

$\partial _{t}r_{i}(t)=\eta _{i}(t),\ \ \ <{\hat {\eta }}_{i}(t){\hat { \eta }}_{k}(t')>=2\alpha \delta _{ik}\delta (tt')$

Tässä , U = 0, vakiolla on diffuusiokertoimen merkitys. $\phi (x)\equiv r_{i}(t)$ $\alpha$

Navier-Stokesin yhtälö

Dynaaminen Navier-Stokes-yhtälö voidaan myös muotoilla tällä kielellä. Yhtälön kriittisiä tehtäviä tulee olemaan turbulenssin kuvaaminen , mukaan lukien kehitetty turbulenssi (järjestelmille, joissa on suuret Reynoldsin lukuarvot), pyörteiden jakautumisfunktion rakentaminen aaltovektorin yli (nopeuskentän Fourier-esituksessa) ja Kolmogorovin fenomenologisen teorian testaus.

\partial _{t}\phi _{i}(x)=\nu \Delta \phi _{i}(x)-\partial _{i}P-\phi _{j}\partial _ {j}\phi _{i}

\partial _{i}\phi _{i}=0\ \

(poikittainen kunto)

Tässä on kokoonpuristumaton nopeusvektorikenttä, on kinemaattinen viskositeetti ja p on paine. $\phi$ $\nu$

Langevin-tyyppiset ongelmat

Stokastisen dynamiikan tehtävien luokassa erotetaan perinteisesti suppeampi kriittisen dynamiikan ongelmaluokka, jossa tarkasteltaville kentille ja funktionaalisen U:n (oikealla t-paikallinen funktionaali) muotoon asetetaan lisäehtoja. kenttien dynaamisesta yhtälöstä). Ensinnäkin järjestelmän kenttien joukkona kenttäjoukko, joka vastaa ns. pehmeät tilat. Pehmeä moodi on mikä tahansa suure, jonka suuret vaihtelut hitaasti rentoutuvat, eli liikemäärän esityksessä vaihtelujen relaksaationopeus tietyllä aaltovektorilla k pyrkii nollaan pisteessä . Esimerkiksi tilausparametrikenttä lähellä kriittistä pistettä on aina itse pehmeä tila. Toiseksi funktionaalinen U on staattisen toiminnan variaatioderivaata. Kirjoitetaan vastaava ongelman lause: $k->0$

$\partial _{t}\phi _{a}=(\alpha _{ab}+\beta _{ab}){\frac {\delta S^{st}(\phi )}{\delta \phi _{b))}+\eta _{a},\ \ \ <{\hat {\eta }}_{a}(x){\hat {\eta }}_{b}(x' )>=2\alpha _{ab}\delta (xx')$

${\displaystyle \alpha _{ab))$ tätä kutsutaan Onsager-kertoimeksi, intermode coupling. $\beta {ab}$

Seuraavat ehdot täyttyvät heille:

${\displaystyle \alpha _{ab}=\alpha _{ba))$ , eli Onsager-kerroin on symmetrinen (tämä voidaan helposti ymmärtää siitä tosiasiasta, että satunnaisvoimien häiriöiden korrelaattori on määritelmän mukaan symmetrinen)

${\displaystyle \beta _{ab}=-\beta _{ba))$

Intermoodikytkennän ominaisuuksien perustelut suoritetaan Fokker-Planck-yhtälön avulla .

Siten yhden tai toisen kriittisen dynamiikan ongelman ilmaisu vastaa järjestelmää, Onsager-kerrointa ja intermode-kytkentää kuvaavien kenttien joukon osoittamista. Seuraavassa on luettelo laajimmin käytetyistä ja tutkituimmista malleista.

Kriittiset dynamiikkamallit

Klassisen artikkelin [Hohenberg, Halperin] jälkeen tässä on vakioluettelo kriittisistä dynamiikkamalleista. Ne kaikki vastaavat tilausparametrikentän staattista -mallia, toiminta näissä malleissa annetaan eksplisiittisesti. ${\displaystyle O_{n}-\phi ^{4))$

N-komponenttikentän staattisen mallin toiminto on ${\displaystyle O_{n}-\phi ^{4))$ $\psi$

S^{st}(\psi )=-(\partial \psi )^{2}/2-\tau \psi ^{2}/2-v_{1}(\psi ^{2}) ^{2}/24

Mallit A ja B

A ja B ovat relaksaatiomalleja, eli intermode-kytkentä (vastaavan matriisin antisymmetrinen osa) on yhtä suuri kuin nolla.

Malli A kuvaa anisotrooppista ferromagneettia, jonka yksikomponenttinen ei-konservoitunut kenttä on järjestysparametrin mukainen ja jonka magnetisoinnin projektio yhdelle koordinaattiakselille otetaan huomioon fyysisessä järjestelmässä;

Malli B kuvaa yksiaksiaalista ferromagneettia, jossa on järjestysparametrin yksikomponenttinen konservoitunut kenttä, jota fysikaalisessa järjestelmässä edustaa magnetisoinnin projektio yhdelle koordinaattiakselista.

Malli A:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=\lambda _{\psi ))

missä $\lambda _{a}\equiv const>0\ \ \forall a$

Malli B:

{\displaystyle \phi =\{\psi \},S^{st}(\psi ),\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2))

Muodollisen asetuksen kannalta mallit A ja B eroavat siis vain tilausparametrikentän säilyvyydestä.

Mallit C ja D

Mallit C ja D ovat myös puhtaasti rentouttavia. Ne ovat mallien A ja B yleistyksiä energiansäästön tapauksessa; ne tuovat käyttöön ylimääräisen konservoidun skalaarikentän, joka kuvaa lämpötilan vaihteluita. $m(x)=<{\hattu {E))(x)>$

Malli C:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))

, jossa m on ylimääräinen pysyvä yksikomponenttinen kenttä

S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

{\displaystyle \alpha _{\psi }=\lambda _{\psi };\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^{2))

Malli D:

{\displaystyle \phi =\{\psi ,m\))

, jossa m on ylimääräinen pysyvä yksikomponenttinen kenttä

S^{st}(\phi )=S^{st}(\psi )-m^{2}/2-v_{2}m\psi ^{2}/2

\alpha _{\psi }=-\lambda _{\psi }\cdot \partial ^{2};\ \ \ \alpha _{m}=-\lambda _{m}\cdot \partial ^ {2}

Jälleen muodollisen asettelun näkökulmasta mallit C ja D eroavat toisistaan vain tilausparametrikentän säilyvyyden suhteen.

Kirjallisuus

Vasiliev AN Kvanttikentän renormalisointiryhmä kriittisen käyttäytymisen ja stokastisen dynamiikan teoriassa. - Pietari. : PIYaF-kustantamo, 1998.
Hohenberg PC Halperin BI Dynaamisten kriittisten ilmiöiden teoria, Rev. Mod. Phys, Voi. 49, nro 3, heinäkuu 1977, s. 435-475

Muistiinpanot

Linkit

MSR- formalismi