Borel-Cantelli Lemma

Borel-Cantelli-lemma todennäköisyysteoriassa on tulos , joka koskee ääretöntä tapahtumasarjaa. Lemmaa käytetään usein todistamaan rajalauseita. Lemma on yleensä jaettu kahteen väitteeseen, joita kutsutaan ensimmäiseksi ja toiseksi Borel-Cantelli-lemmaksi.

Ensimmäinen Lemma

Olkoon annettu todennäköisyysavaruus ja tapahtumasarja . Merkitse $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}\subset {\mathcal {F}}$

A=\limsup \limits _{{n\to \infty }}A_{n}\equiv \bigcap \limits _{{n=1}}^{{\infty }}\left(\bigcup \limits _{ {m=n}}^{{\infty }}A_{m}\oikea)

Sitten jos sarja lähentyy, niin . $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=0$

Toinen lemma

Jos kaikki tapahtumat ovat yhdessä riippumattomia ja sarja eroaa, niin . $\{A_{n}\}_{{n=1}}^{{\infty }}$ $\sum \limits _{{n=1}}^{{\infty }}{\mathbb {P}}\left(A_{n}\right)$ ${\mathbb {P}}(A)=1$

Huomautus

Ensimmäisessä Borel-Cantelli-lemassa ei vaadita tapahtumien riippumattomuutta.

Katso myös

nollan tai yhden laki ;
Ääretön apinalause ;
Borel, Emile ;
Cantelli, Francesco Paolo ;
Kuratowskin konvergenssi

Linkit

Prokhorov, A.V. (2001), Borel–Cantelli lemma , julkaisussa Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4