Logistinen yhtälö

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 24. maaliskuuta 2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 6 muokkausta .

Logistinen yhtälö , joka tunnetaan myös nimellä Verhulstin yhtälö (sen ensimmäisenä laatineen belgialaisen matemaatikon mukaan ), esiintyi alun perin väestömuutosten tutkimuksessa .

Alkuoletukset yhtälön johtamiseksi populaatiodynamiikkaa tarkasteltaessa ovat seuraavat:

Merkitsemällä populaation kokoa ( ekologiassa käytetään usein nimitystä ) ja aika - , malli voidaan pelkistää differentiaaliyhtälöön

jossa parametri kuvaa kasvunopeutta (lisääntymistä) ja  - ympäristön tukikykyä (eli suurinta mahdollista populaatiokokoa). Kertoimien nimen perusteella ekologiassa ne eroavat usein toisistaan[ selventää ] kaksi strategiaa lajien käyttäytymiselle:

Yhtälön tarkka ratkaisu (missä  on populaation alkukoko) on logistinen funktio , S-käyrä (logistinen käyrä):

missä

On selvää, että "riittävässä määrässä resursseja" -tilanteessa, eli niin kauan kuin P ( t ) on paljon pienempi kuin K , logistinen funktio kasvaa aluksi suunnilleen eksponentiaalisesti :

Vastaavasti "resurssien ehtyessä" ( t  → ∞) ero pienenee eksponentiaalisesti samalla eksponentilla.

Miksi Verhulst kutsui yhtälöä logistiseksi, on edelleen tuntematon.

Suurimman panoksen väestönkasvun ajatuksen popularisointiin logistisen käyrän varrella antoi amerikkalainen biologi Raymond Pearl [ 1] [2] .

Vuonna 1920 Pearl julkaisi Lowell Jacob Reedin kanssa julkaisun On the Rate of Growth of the Population of the USA vuodesta 1790 ja sen matemaattisesta esityksestä [3] , jossa annettiin Verhulstin esittämän kaltainen käyrän yhtälö; eli logistisen käyrän yhtälö on löydetty uudelleen.

Logistinen käyrä Verhulstin jälkeen ja ennen Pearlia on löydetty uudelleen vähintään viisi kertaa, kuten Peter John Lloyd kuvaili artikkelissaan [4] . Ja jopa lukuisten Pearlin julkaisujen jälkeen käyrän löytäminen jatkui [4] .

Yhdysvaltojen väestönkasvua käsittelevän paperin [3] julkaisemisen jälkeen Pearl toteutti laboratoriossaan laajan tutkimusohjelman Drosophila melanogaster -hedelmäkärpästen populaatiosta.

Kokeet, jotka on suoritettu sen lentoradan määrittämiseksi, jota pitkin kärpästen populaatio kasvaa rajoitetussa tilassa ja rajoitetuilla ruokaresursseilla, ovat osoittaneet, että laboratorio-olosuhteissa Drosophila-kärpästen pesäke osoittaa kasvua logistisen käyrän liikeradalla [5] .

Samanlaisia ​​kokeita toistivat monet, esineet eivät olleet vain Drosophila . On olemassa paljon kokeellista tietoa, joka osoittaa, että monien biologisten lajien lukumäärän muutosradat toteutuvat kokeissa, mikä vastaa Verhulst-Pearl-mallia [1] .

Kaikki yritykset mallintaa ihmisten määrän kasvun dynamiikkaa eri maissa ja alueilla logistisen käyrän avulla epäonnistuivat siinä mielessä, että ennusteet eivät toteutuneet ja laboratoriokokeet eläimillä ja alemmilla organismeilla osoittivat niiden kasvun yhtäläisyyden. liikeradat logistisen käyrän kurssin kanssa [1] .

Miksi kasvun logistinen laki osoittautuu todeksi laboratorio-olosuhteissa, mutta ei tosielämässä?

Syynä on se, että kokeet laboratoriossa tehtiin koehenkilöille sopivassa lämpötilassa, jolloin ruokaa oli jatkuvasti saatavilla, vihollisia, sairauksia ja muita negatiivisia ilmiöitä ei ollut, eli koehenkilöiden elinolosuhteet olivat lähellä ihannetta. Samalla kasvuprosessi osoittautuu varsin deterministiseksi ja ennakoitavaksi. Ja minkä tahansa maan tai alueen väestönkasvu tapahtuu negatiivisten tekijöiden - epidemioiden, sotien, nälänhädän, luonnonkatastrofien - vaikutuksesta. Negatiiviset vaikutukset (häiriöt) ovat ajallisesti satunnaisia ​​ja kasvuprosessista tulee huonosti ennustettavissa oleva, todennäköisyys [1] .

Vuodesta 1924 lähtien Pearl alkoi väittää, että logistinen käyrä heijastaa väestönkasvun lakia, että kasvu logistisen käyrän varrella on yleisesti kaikkien elävien olentojen kasvun yleinen laki [5] [6] . Biologit, tilastotieteilijät ja taloustieteilijät eivät olleet yhtä mieltä Pearlin kanssa siitä, että tämä on laki, koska logistisen käyrän matemaattinen lauseke (kaava) ei sisällä eksplisiittisesti todellisen mallinnetun prosessin parametreja - se ei eksplisiittisesti sisällä tekijöitä, joiden perusteella populaatio koko riippuu, ja lukuisten kriittisten esitysten ja keskustelujen jälkeen käyrälle määritettiin sen käyttöalue tutkimustyökaluna [1] [2] .

Vuonna 1924 Raymond Pearl sovelsi yhtälöä kuvaamaan autokatalyyttisiä reaktioita .

Logistisen yhtälön diskreetti analogi on logistinen kartta .

Muistiinpanot

  1. ↑ 1 2 3 4 5 Drozdyuk A. Logistinen käyrä .. - Toronto: Choven, 2019. - vi + 271 + [3] s. - ISBN ISBN 978-0-9866300-2-6 .
  2. ↑ 1 2 Kingsland, Sharon. The Refractory Model: The Logistic Curve and the History of Population Ecology  (englanniksi)  // The Quarterly Review of Biology. - 1982. - maaliskuu ( osa 57 , nro 1 ). - S. 29-52 .
  3. ↑ 1 2 Pearl, Raymond ja Lowell J. Reed. Yhdysvaltain väestön kasvunopeudesta vuodesta 1790 ja sen matemaattisesta esityksestä  //  Proceedings of the National Academy of Sciences of the United of America (PNAS; USA). - 1920. - 15. kesäkuuta ( osa 6 , nro 6 ). — S. 275–288 .
  4. ↑ 1 2 Lloyd PJ Pearlin ja Reedin logistisen käyrän amerikkalaiset, saksalaiset ja brittiläiset esikuvat  //  ​​Population Studies. - 1967. - syyskuu ( osa 21 , nro 2 ). — S. 99–108 .
  5. ↑ 1 2 Pearl, Raymond. Väestönkasvun biologia . - New York: Alfred A. Knopf, 1925. - xiv + 260 s.
  6. ↑ Helmi, Raymond. Väestönkasvun biologia  //  American Mercury. - 1924. - marraskuu ( osa III , nro 11 ). — S. 293–305 .

Kirjallisuus

Katso myös