Magneettinen hydrodynamiikka

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 6.7.2020 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 3 muokkausta .

Magnetohydrodynamiikka on fysikaalinen tieteenala, joka syntyi hydrodynamiikan ja jatkuvan sähködynamiikan risteyksessä . Hänen tutkimuksensa aiheena on johtavan nesteen tai kaasun dynamiikka magneettikentässä . Esimerkkejä tutkituista väliaineista ovat erilaiset plasmat , nestemäiset metallit , suolavesi.

Hannes Alfven , joka sai työstään Nobel-palkinnon vuonna 1970 , on tunnustettu magnetohydrodynamiikan teorian tutkimuksen edelläkävijäksi . Ensimmäinen kokeellinen työ tällä alalla oli Hartmannin vuonna 1937 tekemä tutkimus elohopean virtauksen vastusta putkessa poikittaisen magneettikentän vaikutuksesta.

Magnetohydrodynamiikan yhtälöt

Johtavan nesteen ei-relativistisen magnetohydrodynamiikan täydellisellä yhtälöjärjestelmällä on muoto:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operaattorinimi {rot} {\vec {H}}]+\eta \Delta { \vec {v}}+\left({\frac {1}{3}}\eta +\zeta \right)\displaystyle \nabla \operaattorinimi {div} {\vec {v}}\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operaattorinimi {div} \rho {\vec {v))=0\\\näyttötyyli {\frac {\ osittainen {\vec {H))}{\partial t))=-{\frac {1}{\sigma }}{\frac {c^{2}}{4\pi }}\operaattorinimi {rot} \ vasen[\nabla \times {\vec {H}}\right]+\operaattorinimi {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Tässä:

$s$ on paine väliaineessa;
$\rho$ on väliaineen tiheys;
$\sigma$ — väliaineen johtavuus;
$\eta$ on väliaineen leikkausviskositeetti ;
$\zeta$ on väliaineen bulkkiviskositeetti ;
${\vec {v}}$ on nopeuskenttä;
${\vec {H}}$ on magneettikentän voimakkuus .

Tämä järjestelmä sisältää 8 yhtälöä ja antaa sinun määrittää 8 tuntematonta ( , , , ) annetuille alku- ja reunaehtoille. $s$ $\rho$ ${\vec {H}}$ ${\vec {v}}$

Jos käytämme seuraavia likiarvoja ( ei-dissipatiivinen raja):

$\sigma \to \infty ;$
$\eta =0;$
$\zeta =0,$

sitten MHD-yhtälöjärjestelmä voidaan kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa:

{\begin{cases}\displaystyle \rho {\frac {\partial {\vec {v))}{\partial t))+\rho ({\vec {v)),\nabla ){\ vec {v}}=-\nabla p-{\frac {1}{4\pi }}[{\vec {H}}\operaattorinimi {rot} {\vec {H}}]\\\displaystyle p= p(\rho )\\\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t))+\operaattorinimi {div} \rho {\vec {v))=0\\\näyttötyyli {\frac {\ osittainen {\vec {H}}}{\partial t}}=\operaattorinimi {rot} \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right]\\\displaystyle \nabla \ cdot {\vec {H}}=0\end{cases}}

Yhtälöiden johtaminen

MHD-yhtälöiden johtaminen Maxwellin ja hydrodynaamisista yhtälöistä

Kirjoitetaan Maxwellin yhtälöjärjestelmä CGS - järjestelmään :

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ osittainen t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}} +{\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {H}}=0\\\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E }}=0\loppu{tapaukset}}

Lähdemme seuraaviin oletuksiin:

magneettinen permeabiliteetti on yhtä suuri kuin yksi: $\mu=1;$
ei sähkövarauksia $\rho =0;$
Ohmin lailla on muoto: ${\vec {j}}=\sigma {\vec {E}}+{\frac {\sigma }{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}.$

Rajoitamme itsemme ei-relativistiseen tapaukseen ( ), eli $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \osittainen t}}\oikea|.$

Ei-relativistisen lähentämisen perustelu.

Osoittakaamme, että se on vastaava $v\ll c$ $\left|\nabla \times {\vec {H}}\right|\gg \left|{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {E}}}{ \osittainen t}}\oikea|:$

\left|\nabla \times \nabla \times {\vec H}\right|\gg \left|{\frac 1c}\nabla \times {\frac {\partial {\vec E)){\partial t} }\right|={\frac {1}{c^{2}}}\left|{\frac {\partial ^{2}{\vec H}}{\partial t^{2}}}\right |

Arvioidaan tämä lauseke:

{\frac {H}{L^{2}}}\gg {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {H}{\tau ^{2}}},

missä:

$L$ on ominaispituus;
$\tau$ on ominaista aikaa.

Tämä johtaa meidät seuraavaan suhteeseen:

c^{2}\gg {\frac {L^{2}}{\tau ^{2}}}=v^{2};

v\ll c.

Eli järjestelmän ominaisnopeuden on oltava paljon pienempi kuin valon nopeus.

Maxwellin yhtälöt tässä approksimaatiossa kirjoitetaan seuraavasti:

{\begin{cases}\displaystyle \nabla \times {\vec {E}}=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\ osittainen t}}\\\displaystyle \nabla \times {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\\\end{cases}}

Ilmaisemalla Ohmin laista ja korvaamalla sen ensimmäiseen yhtälöön, saamme: ${\vec E}$

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left({\frac {1}{\ sigma }}{\vec {j}}-{\frac {1}{c}}{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right).

Korvaamalla virran Maxwellin toisesta yhtälöstä tähän yhtälöön, saamme:

-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}={\frac {1}{\sigma }}{\frac { c}{4\pi }}\nabla \times \left[\nabla \times {\vec {H}}\oikea]-{\frac {1}{c}}\nabla \times \left[{\vec {v}}\kertaa {\vec {H}}\oikea].

Ihanteellisen johtavan nesteen rajalla saamme: $\sigma \to \infty$

${\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}=\nabla \times \left[{\vec {v}}\times {\vec {H}}\right] .$

Yhdistääkseen hydrodynamiikkaan Navier-Stokes-yhtälöön lisätään termi , joka vastaa Ampère-voimasta , joka vaikuttaa magneettikentän virtoihin (virta ilmaistaan toisesta Maxwell-yhtälöstä magneettikentän voimakkuuden kautta):

{\vec {f}}={\frac {1}{c}}\left[{\vec {j}}\times {\vec {H}}\right]=-{\frac {1 }{4\pi }}\left[{\vec {H}}\times \operatorname {rot} {\vec {H}}\right].

Sovellukset

Magnetohydrodynamiikan periaatteita käytetään nestemäisten metallien käyttäytymisen etävalvontaan ja hallintaan teollisuudessa, erityisesti:

MHD - pumpuissa ;
MHD - generaattoreissa .

Katso myös

Kirjallisuus

V. Denisov "Johdatus materiaalimedian elektrodynamiikkaan: oppikirja". - M .: Moskovan kustantamo. un-ta, 1989. - ISBN 5-211-01371-9
Landau L.D., Lifshitz E.M. Jatkuvan median elektrodynamiikka. - 4. painos, stereotyyppinen. - M .: Fizmatlit , 2003 . — 656 s. - ("Teoreettinen fysiikka", osa VIII). — ISBN 5-9221-0123-4 .
Kotelnikov IA Luennot plasmafysiikasta. Osa 2: Magnetohydrodynamiikka. - 3. painos - Pietari. : Lan , 2021. - 446 s. - ISBN 978-5-8114-6933-8 .

Linkit

Magneettinen hydrodynamiikka tietosanakirjassa "Krugosvet".
Latvian yliopiston fysiikan instituutin "Magnetohydrodynamics" -lehden verkkosivusto (entinen aikakauslehti "Magnetic hydrodynamics") .

Sanakirjat ja tietosanakirjat

Bibliografisissa luetteloissa
BNE : XX524551 BNF : 11958825c GND : 4130803-7 J9U : 987007543557805171 LCCN : sh85079784 LNB : 000053294 NKC : ph122552

Sähködynamiikan osat
Sähköstaattinen ja sähködynamiikka Magnetostatiikka ja magnetodynamiikka Relativistinen sähködynamiikka kvanttielektrodynamiikka
Jatkuvan median elektrodynamiikka	Magnetohydrodynamiikka Elektrohydrodynamiikka