Cauchyn matriisi (differentiaaliyhtälöt)

Matematiikassa differentiaaliyhtälöjärjestelmän Cauchyn matriisi (myös impulssifunktio , matricantti )

x'(t)=A(t)x(t)

... _ _

x(t)\in \mathbb {R} ^{n}

{\näyttötyyli t\in (t_{1},t_{2})}

kutsutaan matriisiksi

{\displaystyle C(t,s)=X(t)X(s)^{-1))

{\näyttötyyli (t;s)\in (t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})}

missä on tämän järjestelmän matriisi (normalisointi: , ). $X(t)$ $X(t_{0})=I$ $t_{0}\in (t_{1},t_{2})$

(Joskus ei , mutta itse Cauchyn matriisia kutsutaan matriisiksi.) $X(t)$

Epähomogeenisten lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmien ratkaiseminen

Cauchyn matriisia käytetään edustamaan epähomogeenisten differentiaalilineaariyhtälöiden järjestelmien ratkaisuja sen avulla. Mikä tahansa ratkaisu epähomogeeniseen järjestelmään:

x'(t)=A(t)x(t)+B(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1 },t_{2}),

jossa on paikallisesti summattava funktio, voidaan esittää homogeenisen järjestelmän Cauchyn matriisina: ${\displaystyle B(t)\in \mathbb {R} ^{n))$ ${\näyttötyyli (t_{1},t_{2}),}$

x'(t)=A(t)x(t),\quad x(t)\in \mathbb {R} ^{n},\quad t\in (t_{1},t_{2 }),

kuten:

x(t)=X(t)x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}C(t,s)B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).

Ominaisuudet

$C(t,s)$ jatkuva sisään ${\näyttötyyli (t_{1},t_{2})\times (t_{1},t_{2})}$
Kaikille väliin kuuluville t:lle, s:lle ja r: lle seuraavat lauseet ovat tosia: ${\näyttötyyli (t_{1}, t_{2})}$
1. ${\displaystyle C(t,s)=C(t,t_{0})C(s,t_{0})^{-1))$
2. $C(t,s)=C(t,r)C(r,s)$
3. ${\displaystyle C(s,t)=C(t,s)^{-1))$
4. $C(t,t)=I$
5. If on konjugaattijärjestelmän matriisi $C_{*}(t,s)$ $x'(t)=-A^{*}(t)x(t)$ . _ $x(t)\in \mathbb {R} ^{n}$ sitten ${\displaystyle C_{*}(t,s)=(C(t,s)^{*})^{-1))$
6. $|C(t,s)|\leqslant e^{\int _{s}^{t}|A(r)|dr},\quad s\leqslant t,$ missä on matriisinormi . $|\cdot |$

Differentiaaliyhtälöjärjestelmä vakiokertoimilla

Matriisantin tapauksessa se on yhtä suuri kuin $A(t)=A=\mathrm {const}$

{\displaystyle X(t)=e^{A(t-t_{0)))))

missä on matriisin eksponentti , joten Cauchyn matriisi: $e^{As}$

C(t,s)=e^{A(ts)}

C(t,s)=X(ts)

joten tässä tapauksessa Cauchyn matriisin saamiseksi riittää korvaamaan (t - s) matriisin argumenttina.

Lineaaristen epähomogeenisten differentiaaliyhtälöiden järjestelmän yleisellä ratkaisulla vakiokertoimilla on muoto:

x(t)=e^{A(t-t_{0})}x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}e^{A(ts)} B(s)ds,\quad t\in (t_{1},t_{2}).

Kirjallisuus

Mathematical Encyclopedia Toim. kollegio: I. M. Vinogradov (toimittajan päällikkö) [ja muut] M., "Soviet Encyclopedia", 1977-1985.
A.N. Tikhonov, A.B. Vasilyeva, A.G. Sveshnikov. Korkeamman matematiikan ja matemaattisen fysiikan kurssi. Differentiaaliyhtälöt. - Fizmatlit, 2005. - ISBN 5-9221-0277-X .