Lehmer-matriisi

Lehmer-matriisi on symmetrinen matriisi , joka määritellään jokaiselle seuraavasti: ${\näyttötyyli L^{n))$ $n>1$

L_{ij}^{n}={\frac {{\mbox{min}}(i,j)}{{\mbox{max}}(i,j)))

Nimetty Derrick Lemairen mukaan .

Jokainen Lehmer-matriisi on alimatriisi (eli kaikille ). Elementtien arvot pienenevät, kun siirryt pois päädiagonaalista; koska kaikki päädiagonaalin elementit ovat yhtä suuria kuin 1, niin jälki on yhtä suuri kuin . ${\näyttötyyli L^{n))$ ${\näyttötyyli L^{n+m))$ ${\displaystyle L_{ij}^{n+1}=L_{ij}^{n))$ $i,j\leqslant n$ ${\näyttötyyli L^{n))$ $n$

Lehmer -matriisin käänteismatriisi on kolmikulmainen , jossa superdiagonaalissa ja subdiagonaalissa on tiukasti negatiivisia elementtejä. Lehmer-matriisin ulottuvuuden käänteisalimatriisi on sama kuin matriisin käänteisosa , lukuun ottamatta elementtiä, jossa on indeksi . $n\ kertaa n$ ${\näyttötyyli L^{n+m))$ ${\näyttötyyli L^{n))$ ${\näyttötyyli (n,n)}$

Lehmer-matriisit, joiden koko on 2×2, 3×3 ja 4×4 ja niiden käänteiset:

{\begin{array}{lllll}A_{2}={\begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix}}&A_{2}^{-1}={\begin {pmatrix}4/3&-2/3\\-2/3&{\color {BrickRed}\mathbf {4/3} }\end{pmatrix}}\\\\A_{3}={\begin{pmatrix }1&1/2&1/3\\1/2&1&2/3\\1/3&2/3&1\end{pmatrix}}&A_{3}^{-1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&\ \-2/3&32/15&-6/5\\&-6/5&{\color {BrickRed}\mathbf {9/5} }\end{pmatrix}}\\\\A_{4}={\begin {pmatrix}1&1/2&1/3&1/4\\1/2&1&2/3&1/2\\1/3&2/3&1&3/4\\1/4&1/2&3/4&1\end{pmatrix}}&A_{4}^{- 1}={\begin{pmatrix}4/3&-2/3&&\\-2/3&32/15&-6/5&\\&-6/5&108/35&-12/7\\&&-12/7&{\ väri {BrickRed}\mathbf {16/7} }\end{pmatrix}}\\\end{array}}

Linkit

M. Newman ja J. Todd, The assessment of matrix inversion programmes , Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Volume 6, 1958, sivut 466-476.