Metalologinen

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 10. marraskuuta 2021 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 5 muokkausta .

Metalologia  on logiikan metateorian tutkimus . Vaikka logiikka tutkii tapoja, joilla loogisia järjestelmiä käytetään päättelyyn, todistamiseen ja kumoamiseen, metalologia tutkii itse loogisten järjestelmien ominaisuuksia.

Metalogiikan tutkimusalueeseen kuuluvat: muodolliset kielet , muodolliset järjestelmät ja niiden tulkinnat . Formaalisten järjestelmien tulkinnan tutkiminen on malliteoriana tunnettu matemaattisen logiikan haara, muodollisen järjestelmän deduktiivisen laitteen tutkimus on todistusteorian haara .

Erillisiä metalogiikan kysymyksiä on tiedetty Aristoteleen ajoista lähtien , mutta vasta muodollisten kielten ilmaantumisen myötä 1800-luvun lopulla. ja 1900-luvun alussa. logiikan perusteiden tutkimisesta on tullut kukoistava suuntaus. Nykyään metalologiaa ja metamatematiikkaa pidetään usein synonyymeinä ja niitä tutkitaan akateemisessa koulutuksessa matemaattisen logiikan puitteissa.

Yleiskatsaus

Muodollinen kieli

Formaalikieli (FL) on organisoitu joukko elementtejä, joiden pääominaisuus on, että ne voidaan määritellä tarkasti niiden muodon ja sijainnin (esiintymisen) suhteen. Tässä tapauksessa kieli voidaan määritellä ilman turvautumista sen ilmaisujen merkityksellisiin merkityksiin, toisin sanoen se voidaan vahvistaa ennen kuin sille annetaan minkäänlaista tulkintaa (jokin merkitys määritellään). Ensimmäisen asteen logiikka on ilmaistavissa sellaisella muodollisella kielellä. Formaali kielioppi määrittelee, mitkä elementit ja elementtien sekvenssit ovat kyseisen kielen kaavoja.

Formaalikieli voidaan määritellä jonkin kiinteän aakkoston O+ merkkijonojen (äärellisten jonojen) joukoksi A. Jotkut kirjoittajat, mukaan lukien Carnap, määrittelevät kielen järjestetyksi pariksi. Carnap edellyttää, että jokainen merkki O+:sta esiintyy A:ssa vähintään yhdellä rivillä.

Muodostussäännöt

Muodostussäännöt (kutsutaan myös muodolliseksi kieliopiksi) ovat tarkkoja kuvauksia hyvin muodostetuista muodollisista kielen merkkijonoista. Nämä säännöt määrittelevät aakkosten päälle rivijoukon, joka koostuu hyvin muodostetuista kaavoista (ppf). Säännöt eivät kuitenkaan kuvaa kaavojen semantiikkaa (mitä ne tarkoittavat).

Muodolliset järjestelmät

Formaalijärjestelmä (kutsutaan myös loogiseksi laskennaksi tai loogiseksi järjestelmäksi) koostuu muodollisesta kielestä ja deduktiivisesta laitteistosta (deduktiivinen järjestelmä). Deduktiivinen laitteisto voi koostua muunnossäännöistä (jota kutsutaan myös päättelysäännöiksi) tai joukosta aksioomia, mutta se voi sisältää molemmat. Muodollista järjestelmää käytetään johtamaan jokin lauseke (yhdestä tai useammasta) muista lausekkeista.

Formaali järjestelmä voidaan määritellä myös järjestetyksi kolmiosaiseksi, jossa d on suora johdettavuussuhde. Tämä suhde ymmärretään siinä mielessä, että muodollisen järjestelmän elementaariset (alkuperäiset, atomiset) lauseet katsotaan suoraan johdettaviksi tyhjästä lausejoukosta. Välitön johdettavuus on lauseen ja äärellisen, mahdollisesti tyhjän lausejoukon välinen suhde. Aksioomit on kirjoitettu siten, että relaatiossa d jokainen ensimmäinen komponentti on lause (kaava) ja jokainen toinen komponentti on lauseiden äärellinen (ala)joukko.

On mahdollista määritellä muodollinen järjestelmä käyttämällä vain relaatiota d. Tällä tavalla voimme jättää O± pois tulkitun formaalin kielen ja muodollisen järjestelmän määritelmistä. Tämä menetelmä on kuitenkin luultavasti vaikeampi ymmärtää ja käyttää sitä. [3]

Muodolliset todisteet

Muodollinen todistus on sarja hyvin muodostettuja PhYa-kaavoja, joista viimeistä pidetään muodollisena järjestelmälauseena. Lause on syntaktinen seuraus kaikesta aikaisemmasta a.p.f. tämä todiste. Jotta p.p.f. voidaan luokitella osaksi todistetta, sen on oltava tulos jonkin deduktiivisen laitteen säännön soveltamisesta edelliseen p.p.f.:hen. todiste siitä.

Tulkinnat

Formaalisen järjestelmän tulkinta koostuu arvojen asettamisesta symboleille ja totuusarvojen antamisesta muodollisen järjestelmän lauseille. Muodollinen semantiikka käsittelee tulkintojen tutkimusta. Tulkinnan rakentaminen on lähellä mallin rakentamisprosessia.

Tärkeitä eroja metalologiassa

Metakieli - kieli-objekti

Metalogisessa muodossa muodollisia kieliä kutsutaan joskus objektikieliksi. Objektikielistä lausumiseen käytettyä kieltä kutsutaan metakieleksi. Tämä on avainero logiikan ja metalogisen välillä. Kun logiikka käsittelee todisteita muodollisessa järjestelmässä, joka ilmaistaan ​​joissakin FL:ssä, metalogic käsittelee muodollista järjestelmää koskevia todisteita, jotka ilmaistaan ​​jonkin objektikielen metakielellä.

Syntaksi - semantiikka

Metalologiassa 'syntaksi' ottaa huomioon FL:n tai muodolliset järjestelmät ottamatta huomioon niiden tulkintaa, kun taas 'semantiikka' liittyy FL:n tulkintaan. Termi 'syntaktinen' kattaa hieman laajemman kontekstin kuin termi 'todistusteoreettinen', koska sitä voidaan soveltaa FL:n ominaisuuksiin riippumatta deduktiivisista järjestelmistä sekä muodollisista järjestelmistä. 'Semanttinen' on synonyymi termille 'malliteoreettinen'.

Käyttö - mainitse

Metalologiassa sanat "käyttää" ja "mainita" - substantiivi- ja verbimuodoissa - osoittavat tärkeän eron, nimittäin eron sanan (tai lauseen) käytön ja sen mainitsemisen välillä. Yleensä lainausmerkkejä, kursivointia tai lausekkeen kirjoittamista erilliselle riville käytetään osoittamaan, että lauseke mainitaan eikä sitä käytetä. Lainausmerkkien käyttö antaa meille ilmaisun nimen (otsikon), esimerkiksi: "Metalogic" on tämän artikkelin otsikko. Tämä artikkeli käsittelee metalologiaa.

Tyyppi - Merkki

Tyyppimerkkierottelu erottaa abstraktin käsitteen objekteista, jotka ovat tämän käsitteen erikoistapauksia (esimerkkejä, esiintymiä). Esimerkiksi tietty pyörä autotallissasi on entiteettityypin erikoistapaus (esiintymä), joka tunnetaan nimellä "pyörä". Ota huomioon, että autotallissasi oleva pyörä on tietyssä paikassa tiettyyn aikaan, eivätkä nämä olosuhteet päde "pyörään" lauseessa: "pyörästä on tullut viime aikoina suositumpi". Tätä eroa käytetään selventämään FY-symbolien merkityksiä.

Historia

Kysymykset metalologisesta suuntautumisesta nousivat esiin jo Aristoteleen aikana . Kuitenkin vasta FL:n tulon myötä 1800-luvun lopulla ja 1900-luvun alussa tutkimus logiikan perusteista alkoi laajentua. Vuonna 1904 D. Hilbert totesi, että matematiikan perusteita koskevassa tutkimuksessa käytetään olennaisesti loogisia käsitteitä, ja siksi metalogisten ja metamatemaattisten periaatteiden samanaikainen koordinointi on tarpeen. Nykykäsittelyssä metalologia ja metamatematiikka menevät suurelta osin päällekkäin, ja nämä molemmat tieteenalat liittyvät merkittävästi matemaattiseen logiikkaan .

Tulokset metallilogiikasta

Metalogiikan tulokset koostuvat suurelta osin muodollisista todisteista, jotka osoittavat tiettyjen muodollisten järjestelmien johdonmukaisuutta, täydellisyyttä ja päätettävyyttä. Metalogiikan tärkeimmät tulokset ovat:

Kirjallisuus

  Siirry Wikidata-kohteeseen  Sanakirjat ja tietosanakirjat