Chaplyginin menetelmä

Chaplyginin menetelmä (tunnetaan myös nimellä kaksipuolisten approksimaatioiden menetelmä [1] ) on S. A. Chaplyginin ehdottama menetelmä differentiaaliyhtälöiden likimääräiseen ratkaisemiseen tietyllä tarkkuudella ja joka perustuu Chaplyginin lauseeseen . Menetelmä on tarkoitettu Cauchyn ongelman ratkaisemiseen ensimmäisen asteen ODE - järjestelmälle (tai yhdelle ensimmäistä korkeamman kertaluokan ODE:lle) ja se koostuu kahden esteratkaisuperheen rakentamisesta, jotka johdonmukaisesti lähestyvät järjestelmän tarkkaa ratkaisua.

Menetelmän kuvaus

Pääidea

Annetaan differentiaaliyhtälö, joka on ratkaistu suhteessa korkeimpaan derivaatta:

$y^{(n)}-f(x,y,y',y'',...,y^{(n-1)})=0$ .

Sitten on löydettävä kaksi funktiota ja , joka on yhtä suuri kuin haluttu integraali pisteessä ja jossain tämän pisteen vieressä olevassa segmentissä, joka täyttää epäyhtälön . Voidaan sanoa, että funktiot ja osuvat yhteen kaarevan kolmion ABC (pisteen A - abskissa ) sivujen AB ja AC kanssa , jonka sisällä funktio kulkee , ja B :n ja C :n välisen etäisyyden tulee olla suhteellisen pieni. $z=z(x)$ $u=u(x)$ $x_{0}$ ${\näyttötyyli u<y<z}$ $z$ $u$ $x_{0}$ $y(x)$

Algoritmi (ensimmäisen asteen yhtälölle)

Se tarvitaan yhtälön ratkaisemiseen ja funktio täyttää Lipschitzin ehdon . $y'-f(x,y)=0$ $f(x,y)$

Etsitään kaksi funktiota ja sellainen, että pisteessä ne ovat yhtälön ratkaisuja ja jollain puolivälillä se on totta: ; . Näitä funktioita pidetään ratkaisun ensimmäisinä approksimaatioina. $z_{0}$ $u_{0}$ $x_{0}$ $(x_{0},b]$
$u_{0}'-f(x,u_{0})<0$
$z_{0}'-f(x,z_{0})>0$
Tiedetään jo jokin likimääräinen ratkaisu ja , niin seuraava approksimaatio on funktiot: ; ; ; . Tässä L on funktion Lipschitzin vakio . Jos lisäksi ehto funktion toisen osaderivaatan etumerkin säilyttämiselle suhteessa alueella täyttyy , niin seuraava approksimaatio voidaan löytää toisella menetelmällä: rakennamme kaksi pintaa ja , joista toinen muodostuu. suorilla viivoilla, jotka kulkevat leikkauspisteiden kautta ja pisteessä kiinteä , ja toinen sen tangenttien kautta, jotka on vedetty minimikulmaan OY -akselin suuntaisesti OXY -tasoon nähden , ja . Sitten funktiot ja voidaan saada ratkaisemalla kaksi lineaarista differentiaaliyhtälöä: ; $z_{i}$ $u_{i}$
$h(x)=u_{i}'(x)-f(x,u_{i}(x))$
$u_{i+1}(x)=u_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(xt)}h(t)dt}$
$g(x)=z_{i}'(x)-f(x,z_{i}(x))$
$z_{i+1}(x)=z_{i}(x)-\int _{x_{0}}^{x}{e^{-L(xt)}g(t)dt}$
$f(x,y)$

$f(x,y)$ $y$ ${\näyttötyyli (x,y)\in ([x_{0},b],[u_{i}(x),z_{i}(x)])}$ ${\näyttötyyli \Phi (x,y)}$ ${\näyttötyyli \phi (x,y)}$ $f(x,y)$ $u_{i}(x)$ $z_{i}(x)$ $x$ $\Phi (x,y)\geqslant f(x,y)\geqslant \phi (x,y)$ $z_{i+1}$ $u_{i+1}$
$z_{i+1}'=\Phi (x,z_{i+1})$ $u_{i+1}'=\phi (x,u_{i+1})$

Lähentyminen [2]

Chaplyginin menetelmä on yleistys Newtonin menetelmästä ODE:iden ratkaisemiseksi, joten alkaen jostain n , . ${\displaystyle z_{n}-u_{n}\leqslant C/{2^{2^{n))))$

Muistiinpanot

↑ § O2. Differentiaali- ja integraaliepäyhtälöt . Käyttöpäivä: 8. kesäkuuta 2014. Arkistoitu alkuperäisestä 19. heinäkuuta 2014. (Venäjän kieli)
↑ Berezin, Zhidkov - s. 268-269.

Kirjallisuus

Chaplygin S. A. Uusi menetelmä differentiaaliyhtälöiden likimääräiseen integrointiin / Ed. V. K. Goltsman. - L . : Valtion teknisen ja teoreettisen kirjallisuuden kustantamo, 1950.
Berezin I. S., Zhidkov N. P. Laskennalliset menetelmät. - M. : Valtion fysiikan ja matemaattisen kirjallisuuden kustantamo, 1959. - T. 2. - S. 260-277.