Chaplyginin lause

Chaplyginin lause on olemassaololause Cauchyn ongelman ratkaisulle ensimmäisen asteen tavalliselle differentiaaliyhtälölle , joka ratkaistaan korkeimman derivaatan suhteen . Kuuluu S. A. Chaplyginille (1919) [1] . Se on yksi differentiaaliepäyhtälöiden menetelmän teoreemoista .

Lauseen lause

Tarkastellaan seuraavaa ensimmäisen asteen differentiaaliyhtälöä alkuehdon kanssa pisteessä : $x=a$

y'=f(x,y),\quad x\in (a,b],

(1.1)

y(a)=y^{a}.

(1.2)

Chaplyginin lauseen muotoilemiseksi tehtävälle (1.1-1.2) tarvitsemme joukon määritelmiä.

Määritelmä. Tehtävän (1.1–1.2) alempi ja ylempi (este)ratkaisut ovat vastaavasti funktioita ja , jotka kuuluvat ryhmään , ja sellaisia, että ${\alleviivaus {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$ $C^{1}[a,b]$

1)\ {\alleviivaus {\omega }}(a)<y^{a}<{\overline {\omega }}(a),

(2.1)

2){\begin{array}{c}{\alleviivaus {\omega }}'(x)<f(x,{\alleviivaus {\omega }}(x)),\\[.5ex] {\overline {\omega }}'(x)>f(x,{\overline {\omega }}(x)),\end{array}}\ \forall x\in [a,b].

(2.2)

Määritelmä. Klassinen ratkaisu tehtävään (1.1–1.2) on funktio , joka kuuluu yhtälöön (1.1) ja täyttää sen jokaiselle ja alkuehdolle (1.2) . $y(x)$ $C^{1}(a,b]\cap C[a,b]$ $x\in(a,b]$

Lause (Chaplygin). Olkoon tehtävän (1.1–1.2) alempi ja ylempi ratkaisu niin, että ${\alleviivaus {\omega }}(x)$ ${\overline {\omega ))(x)$

\ f(x,y)\in C({\mathfrak {B)))

(3.1)

missä . Sitten on vähintään yksi klassinen tehtävän ratkaisu (1.1–1.2) välillä , ja jokaiselle tämän tehtävän ratkaisulle ja mille tahansa ratkaisulle on totta seuraava: ${\mathfrak {B}}\equiv [a,b]\times [{\alleviivaus {\omega }}(x),{\overline {\omega }}(x)]$ $[a,b]$ $y(x)$ $x\in[a,b]$

{\underline {\omega }}(x)<y(x)<{\overline {\omega }}(x).

(3.2)

Katso myös

Nagumon lause

Muistiinpanot

↑ Bogolyubov, 1983 , s. 516.

Kirjallisuus

Bogolyubov A. N. Matematiikka. Mekaniikka. Elämäkertaopas. - Kiova: Naukova Dumka , 1983. - 639 s.
Komlenko Yu. V. Chaplyginin lause toisen asteen lineaariselle differentiaaliyhtälölle hidastetun argumentin kanssa // Matem. Notes , 1967, 2 , nro 3. - S. 301-306.
Myshkis A. D. I. M. Vinogradov. Chaplyginin lause // Matemaattinen tietosanakirja. - M.: Neuvostoliiton tietosanakirja . - 1977-1985. (Venäjän kieli)// Matemaattinen tietosanakirja. T. 5. - M . : Sov. tietosanakirja , 1985.