Jacobin menetelmä ominaisarvoille

Jacobin ominaisarvojen menetelmä on iteratiivinen algoritmi todellisen symmetrisen matriisin ominaisarvojen ja ominaisvektorien laskemiseen . Nimetty Carl Gustav Jacob Jacobin mukaan, joka ehdotti tätä menetelmää vuonna 1846 [1] , vaikka menetelmä otettiin käyttöön vasta 1950-luvulla tietokoneiden myötä [2] .

Kuvaus

Olkoon symmetrinen matriisi ja anna olla rotaatiomatriisi . Sitten $A$ $G=G(i,j,\theta )$

A'=G^{\top }AG

on symmetrinen ja matriisimainen . $A$

Lisäksi se sisältää seuraavat komponentit: $A'$

{\begin{aligned}A'_{ii}&=c^{2}\,A_{ii}-2\,sc\,A_{ij}+s^{2}\,A_{jj }\\A'_{jj}&=s^{2}\,A_{ii}+2sc\,A_{ij}+c^{2}\,A_{jj}\\A'_{ij} &=A'_{ji}=(c^{2}-s^{2})\,A_{ij}+sc\,(A_{ii}-A_{jj})\\A'_{ik }&=A'_{ki}=c\,A_{ik}-s\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{jk}&=A'_{kj}=s\ ,A_{ik}+c\,A_{jk}&k\neq i,j\\A'_{kl}&=A_{kl}&k,l\neq i,j\end{tasattu}}

missä ja . $s=\sin \theta$ $c=\cos \theta$

Koska on ortogonaalinen matriisi, matriiseilla ja on samat Frobenius-normit (kaikkien komponenttien neliösumman juuret), ja voimme valita niin, että , ja tässä tapauksessa on suurempi diagonaalielementtien neliöiden summa: $G$ $A$ $A'$ $||\cdot ||_{F}$ $\theta$ $A'_{ij}=0$ $A'$

A'_{ij}=\cos(2\theta )A_{ij}+{\tfrac {1}{2))\sin(2\theta )(A_{ii}-A_{jj})

Kun tämä lasketaan nollaan, saamme

\operaattorinnimi {tg} (2\theta )={\frac {2A_{ij}}{A_{jj}-A_{ii}}}

Jos , niin $A_{jj}=A_{ii}$

\theta ={\frac {\pi }{4)).

Optimaalisen vaikutuksen saavuttamiseksi on vaadittava, että se on suurin itseisarvoltaan poikkeava alkio, ns. peruselementti . $A_{{ij}}$

Jacobi-menetelmä ominaisarvoille pyörii, kunnes matriisi on lähes diagonaalinen. Sitten diagonaalin elementit approksimoivat matriisin ominaisarvoja . $A$

Muistiinpanot

↑ Jacobi, CGJ Über ein leichtes Verfahren, die in der Theorie der Säkularstörungen vorkommenden Gleichungen numerisch aufzulösen (saksa) // Crelle's Journal . - 1846. - T. 30 . - S. 51-94 .
↑ Golub, G.H.; van der Vorst, HA Omaarvolaskenta 1900-luvulla // Journal of Computational and Applied Mathematics : päiväkirja. - 2000. - Voi. 123 , nro. 1-2 . - s. 35-65 . - doi : 10.1016/S0377-0427(00)00413-1 .