Sointumenetelmä

Kokeneet kirjoittajat eivät ole vielä tarkistaneet sivun nykyistä versiota, ja se voi poiketa merkittävästi 15. lokakuuta 2019 tarkistetusta versiosta . tarkastukset vaativat 12 muokkausta .

Sointumenetelmä on iteratiivinen numeerinen menetelmä yhtälön likimääräisen juuren löytämiseksi .

Sekanttimenetelmän geometrinen kuvaus

Etsimme funktion nollaa . Valitaan kaksi aloituspistettä ja vedetään viiva niiden läpi. Se leikkaa x- akselin pisteessä . Etsitään nyt funktion arvo abskissalla . Väliaikaisesti tarkastelemme segmentin juuria . Olkoon pisteellä abskissa ja makaa kaaviossa. Nyt pisteiden sijaan otamme pisteen ja pisteen . Nyt näillä kahdella pisteellä teemme saman operaation ja niin edelleen, eli saamme kaksi pistettä ja toistamme operaation niillä. Kaksi viimeistä pistettä yhdistävä jana leikkaa abskissa-akselin pisteessä, jonka abskissa-arvoa voidaan likimäärin pitää juurena. Nämä toimet on toistettava, kunnes saamme juuriarvon halutulla approksimaatiolla. $f(x)$ $C_{{1}}(x_{{1}};y_{{1}})$ $C_{{2}}(x_{{2}};y_{{2}})$ $(x_{{3}};0)$ $x_{{3}}$ $x_{{3}}$ $[x_{{1}};x_{{2}}]$ $C_{{3}}$ $x_{{3}}$ $C_{1}$ $C_{2}$ $C_{{3}}$ $C_{2}$ $C_{{n+1}}$ $C_{{n}}$

Sekanttimenetelmän algebrallinen kuvaus

Olkoon sointeen päiden abskissat, sekanttimenetelmällä ratkaistavan funktion yhtälö. Etsi kertoimet ja yhtälöjärjestelmästä $x_{1},x_{2}$ $f(x) = 0$ $k$ $b$

\left\{{\begin{aligned}f(x_{1})&=kx_{1}+b,\\f(x_{2})&=kx_{2}+b.\\\ loppu{tasattu}}\oikea.

Vähennä toinen ensimmäisestä yhtälöstä:

f(x_{1})-f(x_{2})=k(x_{1}-x_{2}),

sitten löydämme kertoimet ja : $k$ $b$

k={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1))},

sitten

b=f(x_{1})-{\frac {(f(x_{2})-f(x_{1}))x_{1}}{x_{2}-x_{1}} }.

Yhtälö saa muodon

y={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}(x-x_{1})+f(x_{ yksi}).

Joten nyt voimme löytää ensimmäisen approksimaation sekanttimenetelmällä saadulle juurelle:

x_{3}=x_{1}-{\frac {(x_{2}-x_{1})f(x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1) })}}.

Otetaan nyt koordinaatit ja toistetaan kaikki tehdyt toiminnot etsimällä uusi approksimaatio juurille. Siten sekanttimenetelmän iteratiivisella kaavalla on muoto: $x_{2}$ $x_{3}$

x_{i+1}=x_{i-1}-{\dfrac {f(x_{i-1})\cdot (x_{i}-x_{i-1})}{f(x_ {i})-f(x_{i-1})}}.

Toimenpide tulee toistaa, kunnes se on pienempi tai yhtä suuri kuin määritetty virhearvo. $|x_{i}-x_{i-1}|$

Sointumenetelmä iteratiivisella kaavalla

Joskus sekanttimenetelmää kutsutaan menetelmäksi iteratiivisella kaavalla

x_{i+1}=x_{i}-{\dfrac {f(x_{i})\cdot (x_{i}-x_{0})}{f(x_{i})-f (x_{0})}}.

Tätä menetelmää voidaan pitää yksinkertaisen iterointimenetelmän muunnelmana, ja sen konvergenssinopeus on hitaampi. Edelleen varmuuden vuoksi tätä menetelmää kutsutaan sointumenetelmäksi ja edellisessä jaksossa kuvattua menetelmää sekanttimenetelmäksi.

Esimerkki sekanttimenetelmän käytöstä

Ratkaisemme yhtälön sekanttimenetelmällä. Asetetaan tarkkuus ε=0,001 ja otetaan alkuarvioiksi sen segmentin päät , josta juuri erotetaan: ja , numeroarvot ja valitaan mielivaltaisesti. Laskelmia suoritetaan, kunnes epäyhtälö täyttyy . $x^{3}-18x-83=0$ $x_0$ $x_{1}$ $x_{0}=8$ $x_{1}=3$ $x_{0}=8$ $x_{1}=3$ $|x_{i+1}-x_{i}|<\varepsilon$

Esimerkissämme arvo on korvattu ja arvo on korvattu . Arvo on tällä kaavalla saatu numeerinen arvo . Jatkossa korvaamme kaavan arvossa ja arvossa . $x_{{i-1}}$ $x_{0}=8$ $x_{i}$ $x_{1}=3$ $x_{{i+1}}$ $x_{2}=\alleviivaus {}4.3924051$ $x_{2}=\alleviivaus {}4.3924051$ $x_{i}$ $x_{1}=3$ $x_{{i-1}}$

Tätä kaavaa käyttämällä saamme johdonmukaisesti (oikeat merkitsevät luvut on alleviivattu): (kuva sointujen menetelmästä, mutta ei sekantteja, erottele osat)

x_{2}=\alleviivaus {}4.3924051

; ; ; ; ; ; ; ; ; ;

x_{3}=\alleviivaus {5},1622721

x_{4}=\alleviivaus {5}.4988422

x_{5}=\alleviivaus {5,6}295040

x_{6}=\alleviivaus {5.6}777792

x_{7}=\alleviivaus {5.6}952826

x_{8}=\alleviivaus {5.70}15852

x_{9}=\alleviivaus {5.70}38490

x_{{10}}=\alleviivaus {5.704}6613

x_{{11}}=\alleviivaus {5.704}9528

Tarkistetaan, että menetelmä toimii, vaikka ja olisivat valittu samalla puolella juuria (eli jos juurta ei ole erotettu alkuproksimaatioiden välisellä segmentillä). Otetaan sama yhtälö ja . Sitten: (kuva ei ole enää sekanttimenetelmästä, vaan dikotomiamenetelmästä ) $x_0$ $x_{1}$ $x_{0}=8$ $x_{1}=7$

x_{2}=\alleviivaus {}6.1125828

; ; ; ; ; ; ; ;

x_{3}=\alleviivaus {5}.8452240

x_{4}=\alleviivaus {5.7}546403

x_{5}=\alleviivaus {5.7}227874

x_{6}=\alleviivaus {5.7}114425

x_{7}=\alleviivaus {5.70}73836

x_{8}=\alleviivaus {5.705}9290

x_{9}=\alleviivaus {5.705}4075

Saimme saman juuriarvon samassa määrässä iteraatioita.

Sekanttimenetelmän konvergenssi

Sekanttimenetelmän iteraatiot konvergoivat juureen, jos alkuarvot ovat riittävän lähellä juuria. Sekanttimenetelmä on nopea. Konvergenssin kertaluku α on yhtä suuri kuin kultainen suhde : $f(x)$ $x_{0}$ $x_{1}$

\alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\noin 1{,}618...

Siten konvergenssijärjestys on suurempi kuin lineaarinen, mutta ei neliöllinen, kuten siihen liittyvässä Newtonin menetelmässä .

Tämä tulos on kelvollinen, jos se on kahdesti differentioituva ja juuri ei ole monikerta - . $f(x)$ $\xi$ $f'(\xi )\neq 0$

Kuten useimmissa nopeissa menetelmissä, sekanttimenetelmälle on vaikea muotoilla konvergenssiehtoja. Jos aloituspisteet ovat riittävän lähellä juuria, menetelmä konvergoi, mutta "riittävän lähellä" ei ole yleistä määritelmää. Menetelmän konvergenssi määräytyy sen mukaan, kuinka "aaltoileva" funktio on . Jos esimerkiksi välissä on piste, jossa , prosessi ei ehkä lähentyisi. ${\näyttötyyli [x_{0},x_{1}]}$ $f'(x)=0$

Sointujen menetelmän kriteeri ja lähentymisnopeus

Jos on kahdesti jatkuvasti differentioituva funktio ja etumerkki säilyy tarkasteltavalla välillä, niin saadut approksimaatiot konvergoivat monotonisesti juureen. Jos yhtälön juuri on välillä , derivaatat ja tällä välillä ovat jatkuvia ja säilyttävät vakiomerkkejä ja , niin voidaan osoittaa [1] , että likimääräisen ratkaisun virhe pyrkii nollaan pisteessä , eli menetelmässä suppenee ja konvergoi geometrisen progression nopeudella (tässä tapauksessa he sanovat, että sillä on lineaarinen lähentymisnopeus ). $f(x)$ $f''(x)$ $\xi$ $f(\xi )=0$ $[a,b]$ $f'(x)$ $f''(x)$ $f''(b)f(b)>0$ $n\rightarrow\infty$

Historiallinen tausta

Ensimmäinen, joka pystyi löytämään likimääräisiä ratkaisuja kuutioyhtälöille , oli Diophantus , mikä loi pohjan sointumenetelmälle. Diofantoksen säilyneet teokset kertovat tästä. Kuitenkin ensimmäinen, joka ymmärsi hänen menetelmänsä, oli Fermat 1600-luvulla, ja ensimmäinen, joka selitti sointumenetelmän, oli Newton (1670-luku). [2]

Toteutus

C++

#include <iostream> #include <math.h> double f ( double x ) { return sqrt ( fabs ( cos ( x ))) - x ; // Korvaa funktiolla, jonka juuria etsimme } // a, b - soinnun rajat, epsilon - vaadittu virhe double findRoot ( double a , double b , double epsilon ) { while ( fabs ( b - a ) > epsilon ) { a = b - ( b - a ) * f ( b ) / ( f ( b ) - f ( a )); b = a - ( a - b ) * f ( a ) / ( f ( a ) - f ( b )); } // a, b — (i - 1)- ja i-jäsenet paluu b ; }

Python

matematiikasta tuonti sin kirjoittamisesta tuonti Soitava tuonti yksikkötesti _ _ def secant ( f : Kutsuttava [[ float ], float ], x0 : float , eps : float = 1e-7 , kmax : int = 1e3 ) -> float : """ ratkaisee f(x) = 0:n sekanttimenetelmällä tarkkuus eps :param f: f :param x0: aloituspiste :param eps: tarkkuus haluttu :palautus: f(x) = 0 """ x , x_prev , i = x0 , x0 + 2 * eps , 0 kun taas abs ( x - x_edellinen ) >= eps ja i < kmax : x , x_edellinen , i = x - f ( x ) / ( f ( x ) - f ( x_edellinen )) * ( x - x_edellinen ), x , i + yksi palauta x luokka TestSecant ( yksikkötesti . TestCase ): def testi_0 ( itse ): def f ( x : float ) -> float : return x ** 2 - 20 * sin ( x ) x0 , x_tähti = 2 , 2,7529466338187049383 itse . assertAlmostEqual ( sekantti ( f , x0 ), x_tähti ) if __name__ == '__main__' : yksikkötesti . tärkein ()

Muutokset

Väärä sijaintimenetelmä eroaa sekanttimenetelmästä vain siinä, että joka kerta ei oteta 2 viimeistä pistettä, vaan ne pisteet, jotka ovat juuren ympärillä.

Katso myös

Kirjallisuus

Demidovich B. P. ja Maron I. A. Laskennallisen matematiikan perusteet. - Tiede, 1970. - S. 664.
Bakhvalov, Zhidkov, Kobelkov. Numeeriset menetelmät. - Tiede. — ISBN 5-94774-060-5 .

Muistiinpanot

↑ Algebra (pääsemätön linkki) . Haettu 24. marraskuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 3. joulukuuta 2007. (määrätön)
↑ Matematiikka ja sen historia. John Stillwell