Tila-aika-metriikka

Tila-aikametriikka on 4-tensori , joka määrittelee aika-avaruuden ominaisuudet yleisessä suhteellisuusteoriassa .

Tyypillisesti merkitty symbolilla . $g_{{ij}}$

Inertiaalisessa viitekehyksessä metrisen tila-aikatensorin matriisilla on muoto

{\hat {g}}=\left({\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}\right)

Ei -inertiaalisissa referenssijärjestelmissä tila-aikametriikan muoto muuttuu ja riippuu yleensä avaruuden pisteestä ja ajanhetkestä.

Tila-aikametriikka määrittää avaruuden kaarevuuden , jonka havaitsija tuntee, joka liikkuu kiihtyvällä vauhdilla . Koska havainnoija ei voi ekvivalenssiperiaatteen perusteella millään tavalla erottaa häneen liittyvän vertailukehyksen ei-inertiaa gravitaatiokentästä, niin tila-aikametriikka määrittää myös avaruuden kaarevuuden massiivisten kappaleiden kentässä.

Tila-aikaväli ilmaistaan aika-avaruusmetriikan kautta kaavalla

{\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j))

Koska metriikka asettaa koordinaattien muunnokset, sitä kutsutaan myös metriikkatensoriksi .

Tila-aikametriikkaa käytetään muodostamaan yhteys minkä tahansa 4-vektorin kovarianttien ja kontravarianttien välillä

{\displaystyle A_{i}=g_{ij}A^{j))

Ominaisuudet

Metrinen tensori on symmetrinen indekseihinsä nähden, eli . Tämä näkyy aika-avaruusvälin neliöidyn differentiaalin yleisestä kaavasta. Tila-aikametriikan determinantti , jota merkitään g:llä, on negatiivinen. $g_{{ij}}=g_{{ji}}$

Metrinen tensorin kontravarianttimuoto suhteutetaan kovarianttimuotoon täysin antisymmetrisen neljännen asteen tensorin avulla

E^{ijkl}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}

missä on tavallinen täysin antisymmetrinen tensori, joka on määritelty inertiaalisessa vertailukehyksessä, eli tensori, jonka komponentit ovat yhtä suuret kuin 1 tai -1 ja jonka etumerkki muuttuu, kun mitkä tahansa kaksi indeksiä vaihdetaan. $e^{{ijkl}}$

Tällä tavalla

g^{ij}={\frac {1}{\sqrt {-g}}}e^{ijkl}g_{kl}

Metrinen tensori, kuten mikä tahansa symmetrinen tensori, voidaan pienentää diagonaalimuotoon valitsemalla vertailujärjestelmä. Tämä operaatio on kuitenkin voimassa vain tiettyyn pisteeseen aika-avaruudessa, eikä sitä yleensä voida suorittaa koko aika-avaruuden ajan.

Oma aika

Avaruus-aikavälin differentiaalin neliö yhdelle tilapisteelle on yhtä suuri kuin

ds^{2}=g_{{00}}(dx^{0})^{2}=c^{2}d\tau ^{2}

missä c on valon nopeus tyhjiössä .

arvo

\tau ={\frac {1}{c}}\int {\sqrt {g_{{00}}}}dx^{0}

kutsutaan oikeaksi ajaksi tietylle avaruuden pisteelle.

Tilaväli

Kahden äärettömän lähellä olevan pisteen välisen etäisyyden neliö saadaan kaavalla

dl^{2}=\gamma _{{\alpha \beta }}dx^{\alpha }dx^{\beta }=\left(-g_{{\alpha \beta }}+{\frac {g_{ {\alpha 0}}g_{0\beta }}}{g_{{00}}}}\right)dx^{\alpha }dx^{\beta }

Kreikkalaisia indeksejä käytetään, kun summaus suoritetaan vain paikkakoordinaateilla. Tensori on kolmiulotteisen avaruuden metrinen tensori. $\gamma _{{\alpha \beta ))$

Tällä tavalla määriteltyä etäisyyttä on mahdotonta integroida, koska tulos riippuisi maailmanlinjasta, jota pitkin integrointi toteutettaisiin. Näin ollen yleisessä suhteellisuusteoriassa kolmiulotteisen avaruuden kaukaisten kohteiden välisen etäisyyden käsite menettää merkityksensä. Ainoa poikkeus on tilanne, jossa metrinen tensori ei riipu ajasta. $g_{{ij}}$

Katso myös

Staattinen isotrooppinen metriikka

Linkit

Landau L.D. , Lifshits E.M. Teoreettinen fysiikka. v. II. Kenttä teoria . - M . : Nauka, 1974. - T. 2.
G. A. Zisman. [bse.sci-lib.com/article076056.html Metric of space-time Sanan "Avaruus-ajan metriikka" merkitys Suuressa Neuvostoliitossa Encyclopediassa ] . bse.scilib.com. Haettu 10. kesäkuuta 2009. Arkistoitu alkuperäisestä 2. huhtikuuta 2012. (määrätön)