Monimuuttuja satunnaismuuttuja

Monimuuttuja satunnaismuuttuja tai satunnaisvektori ( matematiikka , todennäköisyys ja tilastot ) on luettelo matemaattisista muuttujista , joiden jokaisen arvoa ei tunneta joko siksi, että arvoa ei ole vielä esiintynyt tai koska sen arvo on epätäydellinen. Satunnaisvektorin yksittäiset muuttujat ryhmitellään yhteen, koska ne ovat osa yhtä matemaattista järjestelmää – usein ne edustavat yksittäisten tilastoyksiköiden erilaisia ominaisuuksia. Antaa esimerkiksi tietyn henkilön olla tietty ikä, pituus ja paino. Näiden ominaisuuksien kokonaisuus ryhmän satunnaisessa henkilössä on satunnainen vektori. Yleensä jokainen satunnaisvektorin elementti ontodellinen luku .

Satunnaisvektoreita käytetään usein erilaisten satunnaismuuttujakokoelmien , kuten satunnaismatriisien , satunnaispuiden, satunnaisjonojen, satunnaisprosessien jne., taustalla.

Muodollisesti monimuuttuja satunnaismuuttuja on sarakevektori ( tai sen transponoitu matriisi , joka on rivivektori), jonka komponentit ovat satunnaismuuttujien skalaariarvoja samassa todennäköisyysavaruudessa , jossa tämä on alkeistapahtumien avaruus , tämä on sigma-algebra (kaikkien tapahtumien joukko), ja sillä on mittaustodennäköisyys (funktio, joka palauttaa kunkin tapahtuman todennäköisyyden). ${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},...,X_{n})^{T))$ $(\Omega ,{\mathcal {F)),P)$ $\Omega$ ${\mathcal {F}}$ $P$

Todennäköisyysjakauma

Jokainen satunnaisvektori luo todennäköisyysmitan Borel-algebralle, joka on sigma-algebran taustalla. Tämä mitta tunnetaan myös yhteisenä todennäköisyysjakaumana, yhteisjakaumana tai monimuuttujaisen satunnaisvektorijakaumana. $\mathbb {R} ^{n}$

Satunnaismuuttujien kunkin komponentin jakaumaa kutsutaan marginaalijakaumaksi . Annettu ehdollinen todennäköisyysjakauma on todennäköisyysjakauma, kun se tunnetaan tiettynä arvona. $X_{i}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $X_{i}$ $X_{j}$

Operaatiot satunnaisvektoreille

Satunnaisille vektoreille voidaan tehdä samoja algebrallisia operaatioita kuin ei-satunnaisille vektoreille: yhteen-, vähennys-, kertolasku skalaarilla ja pistetulo .

Vastaavasti uusi satunnaisvektori voidaan määrittää soveltamalla affiinista muunnosa satunnaisvektoriin : $\mathbf {Y}$ ${\displaystyle g\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbf {X}$

\mathbf {Y} ={\mathcal {A}}\mathbf {X} +b

, jossa on matriisi ja on vektori, joka koostuu sarakkeesta

\mathcal{A}

n\times n

b

{\näyttötyyli n\kertaa 1}

Jos on palautuva ja todennäköisyystiheys on , niin todennäköisyystiheys $\mathcal{A}$ $\textstyle \mathbf {X}$ $f_{\mathbf {X} }$ $\mathbf {Y}$

f_{\mathbf {Y} }(y)={\frac {f_{\mathbf {X} }({\mathcal {A}}^{-1}(yb))}{|\det { \mathcal {A}}|}}}

Odotus, kovarianssi ja ristikovarianssi

Satunnaisvektorin matemaattinen odotus tai keskiarvo on kiinteä vektori , jonka elementit ovat vastaavien satunnaismuuttujien odotusarvoja. $\mathbf {X}$ $\operaattorin nimi {E} [\mathbf {X} ]$

Kovarianssimatriisi (kutsutaan myös varianssi-kovarianssimatriisiksi) on satunnaisvektori, jonka matriisi on kooltaan matriisi , jossa ( i,j ) :s alkio on i :nnen ja j :nnennen satunnaismuuttujan välinen kovarianssi . Kovarianssimatriisi on matriisin kertolaskulla saadun koon matriisin elementtikohtainen odotus , jossa yläindeksi T viittaa määritetyn vektorin transponointiin: $n kertaa 1$ $n\ kertaa n$ $n\ kertaa n$ ${\displaystyle [\mathbf {X} -\operaattorin nimi {E} [\mathbf {X} ]][\mathbf {X} -\operaattorin nimi {E} [\mathbf {X} ]]^{T))$

\operaattorinnimi {Var} [\mathbf {X} ]=\operaattorin nimi {E} [(\mathbf {X} -\operaattorin nimi {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\ operaattorin nimi {E} [\mathbf {X} ])^{T}].

Tämän lisäksi ja ( on elementtejä ja sillä on elementtejä ) on matriisi $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y}$ $\mathbf {X}$ $n$ $\mathbf {Y}$ $s$ $n\times p$

\operaattorinnimi {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operaattorinimi {E} [(\mathbf {X} -\operaattorinimi {E} [\mathbf {X} ])(\ mathbf {Y} -\operaattorin nimi {E} [\mathbf {Y} ])^{T}],

Kun taas määritetty matriisin odotus otetaan askel askeleelta matriisissa. Siinä elementti ( i,j ) on kovarianssi matriisin i:nnen alkion ja matriisin j :nnen alkion välillä . Ristikovarianssimatriisi saadaan helposti transponoimalla saatu . $\mathbf {X}$ $\mathbf {Y} .$ $\operaattorin nimi {Cov} [\mathbf {Y} ,\mathbf {X} ]$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]$

Lisäominaisuudet

Odotus neliöstä

Otetaan toisen asteen muodon odotus satunnaisvektorissa X seuraavasti : s.170–171

\operaattorinnimi {E} (X^{T}AX)=[\operaattorin nimi {E} (X)]^{T}A[\operaattorinnimi {E} (X)]+\operaattorinnimi {tr} (AC ),

Missä C on X:n kovarianssimatriisi ja tr on matriisin jälki, eli sen päädiagonaalin elementtien summa (ylhäältä vasemmalta alas oikealle). Koska neliömuoto on skalaari, tämä on myös sen matemaattinen odotus.

Todistus : Olkoon satunnainen vektori, jonka koko on c ja ja olkoon koon ei-stokastinen matriisi $\mathbf {z}$ $m\ kertaa 1$ $\operaattorin nimi {E} [\mathbf {z} ]=\mu$ $\operatorname {Cov} [\mathbf {z} ]=V$ $A$ $m \ kertaa m$

Sitten kovarianssin peruskaavan perusteella, jos merkitsemme ja (jossa seuraavassa päämerkki tarkoittaa transponointia), näemme: $\mathbf {z} '=\mathbf {X}$ $\mathbf {z} 'A'=\mathbf {Y}$ $'$

\operaattorinnimi {Cov} [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\operaattorinimi {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ']-\operaattorinimi {E} [\mathbf { X} ]\operaattorin nimi {E} [\mathbf {Y} ]'

Näin ollen

{\begin{aligned}E(XY')&=\operaattorin nimi {Cov} (X,Y)+E(X)E(Y)'\\E(z'Az)&=\operaattorin nimi {Cov } (z',z'A')+E(z')E(z'A')'\\&=\operaattorin nimi {Cov} (z',z'A')+\mu '(\mu' A')'\\&=\operaattorin nimi {Cov} (z',z'A')+\mu 'A\mu ,\end{aligned}}

joka vie meidät

\operaattorinnimi {Cov} (z',z'A')=\operaattorin nimi {tr} (AV).

Tämä johtuu siitä, että kun jäljitetään muuttamatta lopputulosta, voit järjestää matriisit syklisesti uudelleen (esim. tr (AB) = tr (BA)).

Näemme, että kovarianssi

{\begin{aligned}\operatorname {Cov} (z',z'A')&=E\left[\left(z'-E(z')\right)\left(z'A') -E\left(z'A'\oikea)\oikea)'\oikea]\\&=E\vasen[(z'-\mu')(z'A'-\mu 'A')'\oikea ]\\&=E\left[(z-\mu )'(Az-A\mu )\oikea].\end{aligned}}

ja sitten

\left({z-\mu }\right)'\left({Az-A\mu }\right)

on sitten skalaari

(z-\mu )'(Az-A\mu )=\operaattorinimi {tr} \left[{(z-\mu )'(Az-A\mu )}\right]=\operaattorinimi {tr } \left[(z-\mu )'A(z-\mu )\oikea]

triviaalisti. Permutaatiota käyttämällä saamme:

\operaattorin nimi {tr} \left[{(z-\mu )'A(z-\mu )}\right]=\operaattorinimi {tr} \vasen[{A(z-\mu )(z- \mu )'}\right],

Ja sisällyttämällä tämä alkuperäiseen kaavaan, saamme:

{\begin{aligned}\operaattorinimi {Cov} \left({z',z'A'}\right)&=E\left[{\left({z-\mu }\right)'( Az-A\mu )}\right]\\&=E\left[\operaattorinimi {tr} \left[A(z-\mu )(z-\mu )'\right]\right]\\&= \operaattorinimi {tr} \left[{A\cdot E\left[(z-\mu )(z-\mu )'\right]}\right]\\&=\operaattorinimi {tr} [AV].\ loppu{tasattu}}

Kahden eri neliömuodon tulon matemaattinen odotus

Otetaan kahden eri neliöllisen muodon tulon odotus Gaussin satunnaisvektorissa X nollakeskiarvolla seuraavasti: :p. 162-176

\operaattorinnimi {E} [X^{T}AX][X^{T}BX]=2\operaattorin nimi {tr} (ACBC)+\operaattorin nimi {tr} (AC)\operaattorin nimi {tr} (BC) )

Jos taas C on X:n kovarianssimatriisi. Jälleen, koska molemmat neliömuodot ovat skalaareja ja siten niiden tulo on skalaari, niiden tulon keskiarvo on myös skalaari.

Vektoriaikasarja

K × 1 satunnaisvektorin kehitys ajan kuluessa voidaan mallintaa vektorin autoregressiona (VAR) seuraavasti: $\mathbf {X}$