Polachek-polynomit

Polachek-polynomit ovat polynomien sarja, joita Polachek harkitsi vuonna 1950. $P_{n}^{\lambda }(x;\varphi ),\;\lambda >0,\;0<\varphi <\pi ,\;n=\{0,1,...\ }$

Rekursiivinen määritelmä

$P_{-1}^{\lambda }=0$

$P_{0}^{\lambda }=1$

$nP_{n}^{\lambda }-2\left((n-1+\lambda )\cos \varphi +x\sin \varphi \right)P_{n-1}^{\lambda }+ (n-2+2\lambda )P_{n-2}^{\lambda }=0$

Ominaisuudet

Symmetriset Polachek-polynomit ovat ortogonaalisia koko reaaliakselilla painon kanssa: $\left(P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)\oikea)$

{\frac {1}{2\pi }}{\frac {2^{2\lambda }}{\Gamma (2\lambda )}}{|\Gamma (\lambda +ix)|}^ {2}

, missä on Eulerin gammafunktio

\Gamma

Analogi Rodriguesin kaavoille Polachek-polynomeille:

P_{n}^{\lambda }(x;\pi /2)G(\lambda ,x)={\frac {{-1}^{n}}{n!)}}\delta ^ { n}G\left(\lambda +{\frac {n}{2}}\oikea)

, jossa on meromorfinen funktio ja on äärellinen erooperaattori

{\displaystyle G(\lambda ,x)={\frac {\Gamma (\lambda +ix)}{\Gamma (1-\lambda +ix)))e^{\pi x))

\delta

(\delta F)(x)=F\left(x+{\frac {i}{2}}\right)-F\left(x-{\frac {i}{2}}\right)

Kirjallisuus

V. N. Sorokin. Yleistetyt Polachek-polynomit // Math. Lau - 2009. - T. 200 , nro 4 . - S. 113-130 . (Venäjän kieli)

Ortogonaaliset polynomit
Besselin polynomit Gegenbauerin polynomit Kravchukin polynomit Laguerren polynomit Legendre-polynomit Polachek-polynomit Rogersin polynomit Zerniken polynomit Chebyshev-polynomit Charlier-polynomit Eremiittipolynomit Jacobin polynomit