Boolean

Boolen arvo ( joukon aste , eksponentiaalinen joukko , osien joukko ) on tietyn joukon kaikkien osajoukkojen joukko (mukaan lukien nolla yksi ja itse joukko A), joka on merkitty tai (koska se vastaa kuvausjoukkoa välillä - ). $A$ ${\mathcal P}(A)$ $2^A$ $A$ $\{0,1\}$

Jos kaksi joukkoa ovat ekvivalentteja , niin myös niiden loogiset arvot ovat ekvivalentteja. Käänteinen väite (eli operaation injektiivisyys kardinaaleille ) on riippumaton ZFC : stä . $\kappa \mapsto 2^{\kappa }$

Joukkojen luokassa funktiolle voidaan antaa kovariantti- tai kontravarianttifunktion rakenne seuraavasti: ${\mathcal {P}}$

kovarianttifunktionööri kuvaa funktion funktioon siten , että se kartoittaa kuvaan suhteessa ; $f\koolon A\B$ ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}B$ $X$ $X$ $f$
kontravarianttifunktio kuvaa funktion sellaiseksi , että se kartoittaa koko esikuvan suhteessa . $f\koolon A\B$ ${\mathcal {P}}f\colon {\mathcal {P}}B\to {\mathcal {P}}A$ $X$ $X$ $f$

Avoin matemaattinen ongelma : onko olemassa äärettömiä joukkoja ja sellaisia, että joukon kardinaliteetti on pienempi kuin joukon kardinaliteetti ja joukon kardinaliteetti on pienempi kuin joukon kaikkien osajoukkojen joukon kardinaliteetti :? [yksi] $A$ $B$ $A$ $B$ $B$ $A$ $|A|<|B|<|2^{A}|$

Lopullisen Boolen teho

Seuraava väite pitää paikkansa: alkioista koostuvan äärellisen joukon osajoukkojen määrä on yhtä suuri kuin . Tulos todistetaan matemaattisella induktiolla . Pohjassa tyhjällä joukolla ( ) on vain yksi osajoukko - itse ja . Induktiovaiheessa väite katsotaan vakiintuneeksi kardinaalisuuden joukoille ja mielivaltainen joukko kardinaaliluvulla ; Kun jokin elementti kiinnitetään , joukon osajoukot jaetaan kahteen perheeseen: $n$ $2^{n}$ $\varno mitään$ $n = 0$ $2^{0}=1$ $n$ $M$ $n+1$ $a_{0}\in M$ $M$

$M_{1}$ , sisältää , $a_{0}$
$M_{2}$ , jotka eivät sisällä , eli ovat joukon osajoukkoja . $a_{0}$ $M\setminus \{a_{0}\}$

Toisen tyypin osajoukkoja, induktio-oletuksen mukaan, on täsmälleen sama määrä ensimmäisen tyypin osajoukkoja, koska tämän tyyppinen osajoukko saadaan joistakin ja lisäksi ainutlaatuinen toisen tyypin osajoukko lisäämällä elementti ja , siksi: $2^{n}$ $a_{0}$

2^{M}=M_{1}\bigcup M_{2}

ja .

M_{1}\bigcap M_{2}=\varnothing

Induktiohypoteesilla ja eli: $\left|M_{1}\right|=2^{n}$ $\left|M_{2}\right|=2^{n}$

\left|2^{M}\right|=\left|M_{1}\right|+\left|M_{2}\right|=2^{n}+2^{n}=2^{{ n+1}}=2^{\left|M\right|}

Boolean

Lopullisen Boolen teho

Katso myös

Muistiinpanot

Kirjallisuus