Plummer malli

Plummer-malli , myös Plummer-pallo ( eng. Plummer-malli , eng. Plummer-pallo ) on tiheysjakauman laki, jota G. Plummer käytti ensimmäisenä palloklustereiden tutkimuksessa [1] . Sitä käytetään usein yksinkertaistettuna mallina N-body -ongelman mallinnuksen puitteissa .

Mallin kuvaus

Plummer-mallin kolmiulotteisella tiheysprofiililla on muoto

\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a ^{2}}}\oikea)^{-{\frac {5}{2}}},

missä on simuloidun kohteen kokonaismassa, a on niin kutsuttu Plummer-säde , mittakaavaparametri, joka määrittää järjestelmän ytimen ominaiskoon. Vastaavalla potentiaalilla on muoto $M_{0}$

\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},

jossa G on gravitaatiovakio . Nopeusdispersio on

\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2))))}.

Jakelufunktiolla on muoto

f({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {24{\sqrt {2))}{7\pi ^{3))}{\frac {Na ^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},

jos ja muuten. Se näyttää energian massayksikköä kohti. $E<0$ $f({\vec {x)),{\vec {v)))=0$ $E({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)$

Ominaisuudet

Massa pallon sisällä, jonka säde on : $r$

M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.

Monet Plummer-mallin ominaisuudet on kuvattu Herwig Deyongen artikkelissa [2] .

Ytimen säde , jossa tiheys putoaa puoleen keskustan arvosta, on . $r_{c}$ $r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\noin 0,64a$

Säde, joka sisältää puolet massasta $r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\noin 1.3a.$

Viruksen säde on . $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\noin 1,7a$

Kaksiulotteinen pintatiheys on

$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^ {2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2))}={\frac {M_{0}a ^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}$ ,

tästä johtuu kaksiulotteinen massan jakautumisprofiili:

$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a ^{2}+R^{2}}}$ .

Tähtitiedessä voi myös olla tarpeen määrittää säde, jonka sisällä puolet massasta on kaksiulotteisessa jakaumassa . $M(R_{1/2})=M_{0}/2$

Plummer malliin . $R_{1/2}=a$

Hiukkasen kiertoradan käännepisteille sädettä pitkin on ominaista ominaisenergia ja ominaiskulmamomentti , vastaavat etäisyyksien arvot löytyvät kuutioyhtälön juurista $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$

R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2 }\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,

missä siis . Tällä yhtälöllä on kolme todellista juurta : kaksi positiivista ja yksi negatiivinen, klo , jossa on erityinen kulmamomentti ympyräradalle, jolla on sama energia. voidaan laskea kuutioyhtälön diskriminantin yhdestä reaalijuuresta, joka on itse kuutioyhtälö ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2))))$ ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2))))$ $R$ $L<L_{c}(E)$ $L_{c}(E)$ $L_c$

{\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}} ^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\alleviivaus {L}}_{c}^{2}+\left(12{\alleviivaus {E}}^{3}{ \alleviivaus {a}}^{4}+20{\alleviivaus {E}}{\alleviivaus {a}}^{2}\oikea){\alleviivaus {L}}_{c}+\left(8{ \alleviivaus {E}}^{4}{\alleviivaus {a}}^{6}-16{\alleviivaus {E}}^{2}{\alleviivaus {a}}^{4}+8{\alleviivaus {a}}^{2}\right)=0,

jossa alleviivatut parametrit ovat ulottumattomia Henon-yksiköissä, jotka määritellään , ja . ${\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$ ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V))))$ ${\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$

Sovellukset

Plummer-malli mahdollistaa tähtijoukkojen havaittujen tiheysprofiilien esittämisen, vaikka tiheyden nopea lasku suurilla etäisyyksillä ( ) ei sovellu näihin tarkoituksiin. $\rho \rightarrow r^{-5}$

Tiheyden käyttäytyminen lähellä järjestelmän keskustaa ei vastaa havaittuja elliptisten galaksien ominaisuuksia, joissa tiheys kasvaa voimakkaammin kohti keskustaa.

Helppous, jolla Plummer-mallia voidaan soveltaa Monte Carlo -menetelmään, on tehnyt Plummer-mallista erittäin suositun N-rungon mallintamisessa, vaikka malli ei ole realistinen [3] .

Muistiinpanot

↑ Plummer, H.C. (1911), Jakautumisongelmasta pallomaisissa tähtijoukkoissa Arkistoitu 26. kesäkuuta 2019 Wayback Machinessa , ma . Ei. R. Astron. soc. 71 , 460.
↑ Dejonghe, H. (1987), Täysin analyyttinen perhe anisotrooppisia Plummer-malleja Arkistoitu 26. kesäkuuta 2019 Wayback Machinessa . ma Ei. R. Astron. soc. 224 , 13.
↑ Aarseth, SJ, Henon, M. ja Wielen, R. (1974), Numeeristen menetelmien vertailu tähtijoukon dynamiikan tutkimukseen. Arkistoitu 19. huhtikuuta 2020 kohteeseen Wayback Machine Astronomy and Astrophysics 37 183 .