Frobeniuksen epätasa-arvo

Lineaarisessa algebrassa Frobeniuksen epäyhtälö on seuraava epäyhtälö matriisien riveille :

\mathrm {sijoitus} \,AB+\mathrm {sijoitus} \,BC\leqslant \mathrm {sijoitus} \,ABC+\mathrm {sijoitus} \,B.

Tässä epäyhtälössä matriisien , ja dimensioiden on sallittava matriisin olemassaolo (eli näillä matriiseilla on vastaavasti mitat , ja ). $A$ $B$ $C$ $ABC$ $i\times j$ $j\times k$ $k\times l$

Epäyhtälö on nimetty sen keksineen matemaatikon F. G. Frobeniuksen mukaan .

Ensimmäinen todiste

Jos ja , niin sitten . $U\subset V$ $X:V\rightarrow W$ $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$

Kirjoitetaan tämä epäyhtälö : $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

On myös selvää, että [1] . $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$

Toinen todiste

Harkitse lohkomatriisia

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

Jos soveltamme matriisiin alkeismuunnosten ketjua, ne, kuten tiedetään, eivät muuta matriisin järjestystä. $M$

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC \\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Sitten $\mathrm {rank} \,B+\mathrm {rank} \,ABC=\mathrm {rank} \,M=\mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}} \geqslant \mathrm {rank} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rank} \,AB+\mathrm {sijoitus} \,BC$

Muistiinpanot

↑ Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet, 1996 , s. 73.

Kirjallisuus

Carl D Meyer. Matriisianalyysi ja sovellettu lineaarinen algebra
Prasolov VV Lineaarialgebran tehtävät ja lauseet. - M .: Nauka, 1996. - 304 s. - ISBN 5-02-014727-3 .