Schurin eriarvoisuus

Matematiikassa matemaatikon Isai Schurin mukaan nimetty Schur- epäyhtälö sanoo, että mielivaltaisille ei-negatiivisille reaaliluvuille ja epäyhtälö pätee: $x, y, z$ $t$

$x^{t}(xy)(xz)+y^{t}(yx)(yz)+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0$

lisäksi tasa-arvo saavutetaan silloin ja vain, jos kaksi tai useampi luku on keskenään yhtä suuri ja kolmas on yhtä suuri kuin nolla. Jos se on luonnollista ja tasaista , epätasa-arvo pätee todellisuudessa . $x=y=z$ $t$ $x, y, z$

Yleisin ja tunnetuin epätasa-arvon sovellus on erikoistapaus, kun : $t = 1$

$x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geqslant x^{2}y+x^{2}z+y^{2}x+y^{2} z+z^{2}x+z^{2}y$

Todiste

Koska epäyhtälö on muuttujien suhteen symmetrinen , voimme olettaa yleisyyttä menettämättä, että . Sitten Schur-epäyhtälö vastaa seuraavaa epäyhtälöä: ${\näyttötyyli x,y,z}$ $x\geqslant y\geqslant z$

${\näyttötyyli (xy)[x^{t}(xz)-y^{t}(yz)]+z^{t}(zx)(zy)\geqslant 0}$

mikä tehdään, koska . Tästä päättelystä käy myös selväksi, että tasa-arvo on mahdollista vain tai ja . Kun otetaan huomioon tämän luvun kanssa symmetriset muunnelmat, saadaan, että alkuperäisessä epäyhtälössä tasa-arvo saavutetaan silloin ja vain, jos jompikumpi luvuista on yhtä suuri kuin toinen ja kolmas on yhtä suuri kuin nolla, mikä oli todistettava. $x^{t}(xz)\geqslant x^{t}(yz)\geqslant y^{t}(yz)$ $x=y=z$ $x=y$ $z=0$ $x=y=z$ $x, y, z$

Yleistykset

Schurin epätasa-arvon yleistys on seuraava epäyhtälö: kaikille todellisille ja ei-negatiivisille reaaleille : $x, y, z$ $a,b,c$

$a(xy)(xz)+b(yx)(yz)+c(zx)(zy)\geqslant 0$

jos vähintään yksi seuraavista ehdoista täyttyy:

$x\geqslant y\geqslant z$ ja $a\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ ja $c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z$ ja $a+c\geqslant b$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ ja $ax\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ ja $cz\geqslant by$
$x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0$ ja $ax+cz\geqslant by$
$a,b,c$ - jonkin kolmion sivut (mahdollisesti rappeutuneet)
$a,b,c$ - jonkin kolmion sivujen neliöt (mahdollisesti rappeutuneet)
$axe,by,cz$ - jonkin kolmion sivut (mahdollisesti rappeutuneet)
$axe,by,cz$ - jonkin kolmion sivujen neliöt (mahdollisesti rappeutuneet)
On kupera tai monotoninen funktio , jossa on väli , joka sisältää numerot , , , ja , , $f:\mathbb {I} \longrightarrow \mathbb {R^{+}}$ ${\mathbb {I}}$ $x$ $y$ $z$ $a=f(x)$ $b=f(y)$ $c=f(z)$

Toinen mahdollinen yleistys sanoo, että jos ei-negatiiviset reaaliluvut ja positiivinen reaaliluku ovat sellaisia, että , niin [1] : $x\geq y\geq z\geq v$ $t$ $x+v\geq y+z$

$x^{t}(xy)(xz)(xv)+y^{t}(yx)(yz)(yv)+z^{t}(zx)(zy)(zv)+v^ {t}(vx)(vy)(vz)\geq 0.$

Muistiinpanot

↑ Finta, Bela (2015). "Schur-tyyppinen epäyhtälö viidelle muuttujalle." Procedia Technology . 19 : 799-801. DOI : 10.1016/j.protcy.2015.02.114 .