Voigt merkintä

Voigt-merkintä on matriisimuoto, jolla kirjoitetaan 4. asteen symmetrinen tensori . Ensin saksalainen fyysikko Woldemar Voigt ehdotti sitä elastisuustensoriksi anisotrooppisten materiaalien Hooken lain muotoilussa .

Merkintä

Jos 4-luokan tensorilla on symmetria ensimmäisessä ja toisessa indeksiparissa: $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl))

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk))

sitten sen elementit voidaan kirjoittaa 6x6-matriisina käyttämällä seuraavaa indeksikorvausta:

11\rightarrow 1

22\rightarrow 2

33\rightarrow 3

23,32\rightarrow 4

13.31\rightarrow 5

12,21\rightarrow 6

Esimerkiksi komponentti vastaa matriisielementtiä . $c_{3122}$ $C_{52}$

Käyttämällä samoja indeksikorvauksia voidaan kirjoittaa 2. sijan symmetriset tensorit 6 vektoriksi. Tällä esityksellä tensorien kertolaskutulos ei yleisesti ottaen vastaa matriisien kertolaskutulosta. Jotta tensorikertolasku voidaan kirjoittaa matriisikertolaskuksi , voi olla tarpeen ottaa käyttöön lisätekijöitä.

Hooken lain matriisimerkintä

Hooken lailla tensorimuodossa on muoto (jäljempänä käytetään Einsteinin sopimusta toistuvien indeksien summaamisesta):

{\displaystyle \sigma _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl))

missä ja ovat jännitys- ja jännitystensorit . Koska nämä tensorit ovat symmetrisiä, kimmomoduulitensorilla on tarvittava symmetriaaste, jotta se voidaan kirjoittaa matriisimuotoon. Lisäksi suhteesta: $\sigma_{ij}$ ${\displaystyle \varepsilon _{kl))$ $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}={\frac {\partial ^{2}F}{\partial \varepsilon _{ij}\partial \varepsilon _{kl))))

missä on ilmaista energiaa $F$ [ selventää ] , jos kyseessä on isoterminen muodonmuutos tai sisäinen energia adiabaattisessa muodonmuutoksessa , seuraa . Tästä seuraa, että elastisessa vakiotensorissa on vain 21 lineaarisesti riippumatonta komponenttia [1] . Siksi komponenteista muodostuva matriisi on symmetrinen. Hooken laki voidaan kirjoittaa seuraavassa muodossa: ${\displaystyle c_{ijkl}=c_{klij))$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta ))$ $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle \sigma _{\alpha }=C_{\alpha \beta }\epsilon _{\beta ))

jossa indeksit ovat 1-6 tai: $\alpha ,\beta$

{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\ sigma _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222} &c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &c_ {2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{ 1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}

Tässä merkinnässä jännitystensorin komponenttien kerroin 2 on välttämätön , jotta matriisiyhtälöt täsmäävät tarkasti tensoriyhtälöiden kanssa. Esimerkiksi Hooken laissa komponentin yhtälö sisältää termin , joka matriisimerkinnässä vastaa termiä . $\varepsilon _{23}$ $\varepsilon _{13}$ $\varepsilon _{12}$ $\sigma_{11}$ ${\displaystyle c_{1123}\varepsilon _{23}+c_{1132}\varepsilon _{32))$ $c_{1123}2\varepsilon _{23}$

Hooken laki voidaan kirjoittaa vastaavassa tensorimuodossa noudattamismoduulitensorina : ${\displaystyle s_{ijkl))$

{\displaystyle \varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl))

Tensorille on ominaista sama symmetriaaste kuin . Siksi sen komponentit voidaan kirjoittaa myös 6x6-elementtien matriisina. Tämä matriisi ei kuitenkaan ole käänteinen matriisiin nähden . ${\displaystyle s_{ijkl))$ $c_{{ijkl}}$ ${\displaystyle C_{\alpha \beta ))$

Käänteinen matriisiyhtälö , jossa , on seuraava: ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\sigma _{\beta ))$ $S=C^{-1}$

{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\ \2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cpiste &s_ {2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_{3312}\cpiste &c \cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\ cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\ \\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatrix}}

Kiertomuunnos

Kun siirrytään suorakulmaisesta koordinaatistosta karteesiseen koordinaattijärjestelmään pyörittämällä, elastisten vakioiden tensorin komponentit muunnetaan seuraavan kaavan mukaisesti neljännen asteen tensorin muunnoksen mukaisesti [2] : ${\näyttötyyli x_{1},x_{2},x_{3))$ ${\displaystyle x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },x_{3}^{\prime ))$

{\displaystyle C'_{ijkl}=n_{i\alpha }n_{j\beta }n_{k\gamma }n_{l\delta }C_{\alpha \beta \gamma \delta ))

Esimerkkejä

Isotrooppisen materiaalin elastisuustensori : elastisuusominaisuudet määräytyvät kahdella vakiolla (tässä esimerkissä Lame-vakiot ja ): $\lambda$ $\mu$

{\begin{pmatrix}\lambda +2\mu &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2\mu &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2\ mu &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{pmatrix}}

Kuusikulmaisen symmetrian omaavan materiaalin elastisuustensori: kuusikulmaisen symmetrian omaavalle kappaleelle on tunnusomaista symmetria-akselin (tässä tapauksessa ) läsnäolo, kun sitä pyöritetään, jonka ympärillä ominaisuudet eivät muutu; kuvaa 5 riippumatonta elastista vakiota: $x_{3}$

{\displaystyle {\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1122}&c_{1111}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1133}&c_{3_33 }&0&0&0\\0&0&0&c_{2323}&0&0\\0&0&0&0&c_{2323}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{2}}(c_{1111}-c_{1122})\\}}{pmatrix

Yksikkömatriisi vastaa yksikkö "symmetrisoivaa" tensoria : $minä$

I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk})

Muistiinpanot

↑ Akustisten pinta-aaltojen suodattimet (laskenta, tekniikka ja sovellus) = Pinta-aaltosuodattimet: suunnittelu, rakentaminen ja käyttö / Ed. V. B. Akpambetova. - M . : Radio ja viestintä, 1981. - S. 11. - 472 s. -5000 kappaletta.
↑ Witold Novacky. Teoria Sprezystosci . Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970). Haettu 17. joulukuuta 2019. Arkistoitu alkuperäisestä 17. joulukuuta 2019. (määrätön)

Kirjallisuus

M. A. Akivis, V. V. Goldberg. Tensorilaskenta . - M .: Nauka, 1969. - 352 s.
V. Novatsky. Elastisuusteoria / käänn. B. E. Pobedrya . - M .: Mir, 1975. - 871 s.
T. D. Shermergaard. Mikroepähomogeenisten väliaineiden elastisuusteoria. - M .: Nauka, 1977. - 399 s.